कक्षा 10 गणित — संपूर्ण सूत्र संग्रह एवं मास्टर निर्देशिका

कक्षा 10 गणित (NCERT, CBSE एवं समस्त राज्य बोर्ड) का 100% संपूर्ण सूत्र संग्रह। इसमें वास्तविक संख्याएँ, बहुपद, दो चर वाले रैखिक समीकरण, द्विघात समीकरण, समानांतर श्रेणी (AP), त्रिकोणमिति एवं अनुप्रयोग, वृत्त, रचनाएँ, वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल, पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन, सांख्यिकी एवं प्रायिकता के सभी सूत्र, नियम, रेखाचित्र (SVG Animations) और हल सहित उदाहरण शामिल हैं।

sin²θ + cos²θ = 1

a² + b² = c²

a = bq + r

π = 22/7

aₙ = a + (n-1)d

x = (-b ± √D)/2a

📚 अध्याय 1 : वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

🔹 1. Euclid's Division Lemma (यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका)

किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए, ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ q (भागफल) और r (शेषफल) विद्यमान होती हैं कि:

$a = bq + r, \quad \text{जहाँ } 0 \le r < b$

उदाहरण: यदि $a = 20$ और $b = 6$, तो $20 = 6 \times 3 + 2$। यहाँ $q = 3$ और $r = 2$ है।

🔹 2. Euclid's Division Algorithm (यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म)

यह दो धनात्मक पूर्णांकों का HCF (महत्तम समापवर्त्य) प्राप्त करने की कलन विधि है:

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका लागू करें।
यदि शेषफल $r = 0$, तो भाजक ही HCF है।
यदि $r \neq 0$, तो भाजक $b$ और शेषफल $r$ पर पुनः यूक्लिड प्रमेयिका लागू करें।

उदाहरण: HCF(56, 72) निकालें:
$72 = 56 \times 1 + 16$
$56 = 16 \times 3 + 8$
$16 = 8 \times 2 + 0 \implies \mathbf{HCF = 8}$

🔹 3. HCF और LCM का संबंध एवं अंकगणित की आधारभूत प्रमेय

$\text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$

उदाहरण: $a = 12, b = 18 \implies \text{HCF} = 6, \text{LCM} = 36$.
$6 \times 36 = 216$ तथा $12 \times 18 = 216$ ✔️

🔹 4. संख्या तंत्र एवं वर्गीकरण (Classification of Numbers)

सम संख्या (Even): $2n$ रूप की पूर्णांक संख्या (जैसे: 2, 4, 6, 8...)
विषम संख्या (Odd): $2n + 1$ या $2n - 1$ रूप की संख्या (जैसे: 1, 3, 5, 7...)
अभाज्य संख्या (Prime): केवल 1 और स्वयं से विभाज्य (जैसे: 2, 3, 5, 7, 11, 13...)
भाज्य/समग्र संख्या (Composite): 1 और स्वयं के अतिरिक्त अन्य भाजक भी हों (जैसे: 4, 6, 8, 9, 10...)
परिमेय संख्या (Rational): जिन्हें $\frac{p}{q}$ ($q \neq 0$, $p, q \in \mathbb{Z}$) के रूप में व्यक्त किया जा सके।
अपरिमेय संख्या (Irrational): जिन्हें $\frac{p}{q}$ के रूप में न लिखा जा सके (जैसे: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi$)।

2. बहुपद (Polynomials)

बहुपद एक बीजीय व्यंजक है जिसमें चर की घातें केवल ऋणेत्तर पूर्णांक (Non-negative integers) होती हैं।

2.1 सामान्य रूप एवं प्रकार

$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \quad (a_n \neq 0)$

रैखिक बहुपद (Linear): घात = 1, रूप: $ax + b$
द्विघात बहुपद (Quadratic): घात = 2, रूप: $ax^2 + bx + c$
त्रिघात बहुपद (Cubic): घात = 3, रूप: $ax^3 + bx^2 + cx + d$

2.2 शून्यांकों एवं गुणांकों के बीच संबंध (Relationship between Zeros and Coefficients)

द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के शून्यांक $\alpha, \beta$ हों तो:

$\text{शून्यांकों का योग } (\alpha + \beta) = -\frac{b}{a} = -\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^2 \text{ का गुणांक}}$ $\text{शून्यांकों का गुणनफल } (\alpha \cdot \beta) = \frac{c}{a} = \frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{ का गुणांक}}$

द्विघात बहुपद बनाने का सूत्र:

$p(x) = k \left[ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta \right]$

3. दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)

3.1 सामान्य रूप एवं हल की स्थितियाँ (Conditions for Solvability)

समीकरण युग्म: $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ तथा $a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$

अनुपातों की तुलना	ग्राफीय निरूपण	बीजगणितीय हल	संगतता (Consistency)
$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$	प्रतिच्छेदी रेखाएँ (Intersecting)	अद्वितीय हल (Unique Solution)	संगत (Consistent)
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$	संपाती रेखाएँ (Coincident)	अपरिमित रूप से अनेक हल	आश्रित / संगत
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$	समांतर रेखाएँ (Parallel)	कोई हल नहीं (No Solution)	असंगत (Inconsistent)

4. द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)

4.1 द्विघाती सूत्र (Quadratic Formula) एवं विविक्तकर (Discriminant)

मानक रूप: $ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

विविक्तकर (Discriminant): $D = b^2 - 4ac$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

मूलों की प्रकृति (Nature of Roots):

यदि $D > 0$ : दो भिन्न वास्तविक मूल (Two Distinct Real Roots)
यदि $D = 0$ : दो बराबर वास्तविक मूल (Two Equal Real Roots: $x = -\frac{b}{2a}$)
यदि $D < 0$ : कोई वास्तविक मूल नहीं (No Real Roots / Complex Roots)

5. समानांतर श्रेणी (Arithmetic Progression - AP)

5.1 AP के महत्वपूर्ण सूत्र

मानक रूप: $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$

प्रथम पद: $a$, सार्व अंतर (Common Difference): $d = a_n - a_{n-1}$
$n$वाँ पद (General Term): $a_n = a + (n - 1)d$
अंतिम से $n$वाँ पद: $a_n' = l - (n - 1)d$ (जहाँ $l$ अंतिम पद है)
प्रथम $n$ पदों का योग (Sum of First $n$ Terms): $S_n = \frac{n}{2} \left[ 2a + (n - 1)d \right] \quad \text{या} \quad S_n = \frac{n}{2} (a + l)$
पदों की संख्या सूत्र: $n = \frac{l - a}{d} + 1$

6. त्रिकोणमिति का परिचय एवं अनुप्रयोग (Trigonometry)

6.1 त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios)

समकोण त्रिभुज (Right-Angled Triangle) में:

$\sin\theta = \frac{\text{लंब (P)}}{\text{कर्ण (H)}}, \quad \csc\theta = \frac{\text{कर्ण (H)}}{\text{लंब (P)}}$

$\cos\theta = \frac{\text{आधार (B)}}{\text{कर्ण (H)}}, \quad \sec\theta = \frac{\text{कर्ण (H)}}{\text{आधार (B)}}$

$\tan\theta = \frac{\text{लंब (P)}}{\text{आधार (B)}}, \quad \cot\theta = \frac{\text{आधार (B)}}{\text{लंब (P)}}$

6.2 त्रिकोणमितीय मान सारणी (Trigonometric Table)

अनुपात / कोण	0°	30°	45°	60°	90°
$\sin\theta$	0	1/2	$1/\sqrt{2}$	$\sqrt{3}/2$	1
$\cos\theta$	1	$\sqrt{3}/2$	$1/\sqrt{2}$	1/2	0
$\tan\theta$	0	$1/\sqrt{3}$	1	$\sqrt{3}$	अपरिभाषित (∞)
$\cot\theta$	∞	$\sqrt{3}$	1	$1/\sqrt{3}$	0
$\sec\theta$	1	$2/\sqrt{3}$	$\sqrt{2}$	2	∞
$\csc\theta$	∞	2	$\sqrt{2}$	$2/\sqrt{3}$	1

6.3 सर्वसमिकाएँ (Trigonometric Identities)

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \implies \sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta, \quad \cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \implies \sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$ $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta \implies \csc^2\theta - \cot^2\theta = 1$

7. वृत्त (Circles)

7.1 वृत्त की रेखाएँ एवं प्रमेय (Theorems with Diagrams)

प्रमेय 10.1: वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा (Tangent), स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या (Radius) पर लंबवत होती है।

$OP \perp \text{Tangent Line}$

प्रमेय 10.2: बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।

$TP = TQ$

8. रचनाएँ (Constructions)

8.1 रेखाखंड का विभाजन एवं बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखा

1️⃣ रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करना: न्यूनकोण रेखा पर $m+n$ बराबर चाप अंकित कर समांतर रेखा विधि से विभाजित करना।
2️⃣ बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ खींचना: केंद्र $O$ को बाह्य बिंदु $T$ से मिलाकर $OT$ के मध्य बिंदु $M$ को केंद्र मानकर वृत्त खींचना जो मूल वृत्त को $P, Q$ पर काटे।

10. पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas & Volumes)

10.1 3D आकृतियों के मास्टर सूत्र

आकृति	वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA)	कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA)	आयतन (Volume)
घन (Cube)	$4a^2$	$6a^2$	$a^3$
घनाभ (Cuboid)	$2h(l + b)$	$2(lb + bh + hl)$	$l \times b \times h$
बेलन (Cylinder)	$2\pi rh$	$2\pi r(h + r)$	$\pi r^2 h$
शंकु (Cone)	$\pi rl \quad (l = \sqrt{r^2 + h^2})$	$\pi r(l + r)$	$\frac{1}{3}\pi r^2 h$
गोला (Sphere)	$4\pi r^2$	$4\pi r^2$	$\frac{4}{3}\pi r^3$
अर्द्धगोला (Hemisphere)	$2\pi r^2$	$3\pi r^2$	$\frac{2}{3}\pi r^3$
छिन्नक (Frustum)	$\pi (r_1 + r_2)l$	$\pi l(r_1 + r_2) + \pi r_1^2 + \pi r_2^2$	$\frac{1}{3}\pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$

11. सांख्यिकी (Statistics)

11.1 माध्य, माध्यिका एवं बहुलक सूत्र

1️⃣ माध्य (Mean $\bar{x}$):
🔹 प्रत्यक्ष विधि (Direct): $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$
🔹 कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean): $\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} \quad (d_i = x_i - a)$
🔹 पद विचलन विधि (Step-Deviation): $\bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h \quad \left( u_i = \frac{x_i - a}{h} \right)$

2️⃣ माध्यिका (Median): $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - CF}{f} \right) \times h$ (जहाँ $l$ माध्यक वर्ग की निम्न सीमा, $CF$ संचयी बारंबारता, $f$ बारंबारता, $h$ वर्ग अंतराल है)

3️⃣ बहुलक (Mode): $\text{Mode} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$ (जहाँ $f_1$ बहुलक वर्ग की बारंबारता, $f_0$ पूर्व वर्ग की, $f_2$ उत्तर वर्ग की बारंबारता है)

4️⃣ आनुभविक संबंध (Empirical Relationship): $\mathbf{3 \times \text{माध्यिका (Median)} = \text{बहुलक (Mode)} + 2 \times \text{माध्य (Mean)}}$

12. प्रायिकता (Probability)

12.1 मूल नियम एवं सूत्र

$P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या (n(E))}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या (n(S))}}$ $0 \le P(E) \le 1$ $P(E) + P(\bar{E}) = 1 \implies P(\bar{E}) = 1 - P(E)$ $\text{निश्चित घटना (Certain Event) की प्रायिकता} = 1$ $\text{असंभव घटना (Impossible Event) की प्रायिकता} = 0$

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अनुपात / कोण	0°	30°	45°	60°	90°
\(\sin\theta\)	0	1/2	\(1/\sqrt{2}\)	\(\sqrt{3}/2\)	1
\(\cos\theta\)	1	\(\sqrt{3}/2\)	\(1/\sqrt{2}\)	1/2	0
\(\tan\theta\)	0	\(1/\sqrt{3}\)	1	\(\sqrt{3}\)	अपरिभाषित (∞)
\(\cot\theta\)	∞	\(\sqrt{3}\)	1	\(1/\sqrt{3}\)	0
\(\sec\theta\)	1	\(2/\sqrt{3}\)	\(\sqrt{2}\)	2	∞
\(\csc\theta\)	∞	2	\(\sqrt{2}\)	\(2/\sqrt{3}\)	1

आकृति	वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA)	कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA)	आयतन (Volume)
घन (Cube)	\(4a^2\)	\(6a^2\)	\(a^3\)
घनाभ (Cuboid)	\(2h(l + b)\)	\(2(lb + bh + hl)\)	\(l \times b \times h\)
बेलन (Cylinder)	\(2\pi rh\)	\(2\pi r(h + r)\)	\(\pi r^2 h\)
शंकु (Cone)	\(\pi rl \quad (l = \sqrt{r^2 + h^2})\)	\(\pi r(l + r)\)	\(\frac{1}{3}\pi r^2 h\)
गोला (Sphere)	\(4\pi r^2\)	\(4\pi r^2\)	\(\frac{4}{3}\pi r^3\)
अर्द्धगोला (Hemisphere)	\(2\pi r^2\)	\(3\pi r^2\)	\(\frac{2}{3}\pi r^3\)
छिन्नक (Frustum)	\(\pi (r_1 + r_2)l\)	\(\pi l(r_1 + r_2) + \pi r_1^2 + \pi r_2^2\)	\(\frac{1}{3}\pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)\)