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कक्षा 11 गणित — संपूर्ण सूत्र संग्रह एवं विस्तृत अवधारणाएँ
यह अध्ययन सामग्री कक्षा 11 गणित (NCERT व CBSE पाठ्यक्रम) के सभी 15 अध्यायों के महत्वपूर्ण सूत्रों, परिभाषाओं, समुच्चय, संबंध एवं फलन, त्रिकोणमितीय फलन, सम्मिश्र संख्याएँ, असमीकाएँ, क्रमचय एवं संचय, द्विपद प्रमेय, अनुक्रम एवं श्रेणी, सरल रेखाएँ, शंकु परिच्छेद, त्रिविमीय ज्यामिति, सीमाएँ एवं अवकलज, गणितीय तर्कशास्त्र, सांख्यिकी तथा प्रायिकता का एक संपूर्ण प्रामाणिक संग्रह है।
1. समुच्चय (Sets) के संपूर्ण सूत्र एवं अवधारणाएँ
समुच्चय (Set) वस्तुओं के सुपरिभाषित संग्रह (Well-defined collection) को कहते हैं।
वेन आरेख (Venn Diagram) — संघ (A ∪ B) एवं प्रतिच्छेदन (A ∩ B)
1.1 मुख्य सूत्र, परिभाषाएँ एवं उदाहरण
जिस समुच्चय में कोई तत्त्व नहीं होता।
$\emptyset = \{ \}$
(जैसे, ऐसा समुच्चय जिसमें कोई सदस्य न हो)
सभी तत्त्व जो सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में हैं लेकिन \(A\) में नहीं।
$A' = U - A$
उदाहरण: यदि सार्वभौमिक समुच्चय \(U = \{1,2,3,4,5\}\) और \(A = \{1,2\}\), तो \(A' = \{3,4,5\}\)
सभी तत्त्व जो \(A\) या \(B\) या दोनों में हैं।
$A \cup B = \{x : x \in A \text{ या } x \in B\}$
उदाहरण: \(A = \{1,2,3\}, B = \{3,4,5\}\) तो \(A \cup B = \{1,2,3,4,5\}\)
सभी तत्त्व जो \(A\) और \(B\) दोनों में हैं।
$A \cap B = \{x : x \in A \text{ तथा } x \in B\}$
उदाहरण: \(A = \{1,2,3\}, B = \{3,4,5\}\) तो \(A \cap B = \{3\}\)
ऐसे तत्त्व जो \(A\) में हों लेकिन \(B\) में न हों।
$A - B = \{x : x \in A \text{ तथा } x \notin B\}$
उदाहरण: \(A = \{1,2,3\}, B = \{3,4,5\}\) तो \(A - B = \{1,2\}\)
हर तत्त्व \(A\) का, \(B\) में भी हो।
$A \subseteq B \iff (\forall x \in A \implies x \in B)$
उदाहरण: यदि \(A = \{1,2\}\) और \(B = \{1,2,3\}\), तो \(A \subseteq B\)
सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय।
$\text{सूत्र: } n(P(A)) = 2^{n(A)}$
उदाहरण: यदि \(A = \{a,b\}\) हो तो \(P(A) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}\) और \(n(P(A)) = 2^2 = 4\)
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
उदाहरण: \(n(A) = 10, n(B) = 15, n(A \cap B) = 5\) तो \(n(A \cup B) = 10 + 15 - 5 = 20\)
$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$
उदाहरण: यदि \(n(A) = 5, n(B) = 6, n(C) = 7, n(A \cap B) = 2, n(B \cap C) = 3, n(C \cap A) = 2, n(A \cap B \cap C) = 1\) हो, तो:
\(n(A \cup B \cup C) = 5 + 6 + 7 - 2 - 3 - 2 + 1 = 12\)
$(A \cup B)' = A' \cap B' \quad \text{तथा} \quad (A \cap B)' = A' \cup B'$
उदाहरण: यदि सार्वभौमिक समुच्चय \(U = \{1,2,3,4\}\) और \(A = \{1,2\}, B = \{2,3\}\) हो, तो:
\((A \cup B)' = \{4\}\) और \((A \cap B)' = \{1,3,4\}\)
1.2 समुच्चय (Sets) में उपयोग होने वाले प्रतीक (Symbols)
| प्रतीक चिन्ह 🔤 | नाम 📋 |
|---|---|
| $\cup$ | संघ (Union) |
| $\cap$ | छेद / प्रतिच्छेदन (Intersection) |
| $\subseteq$ | उपसमुच्चय (Subset) |
| $\subset$ | उचित उपसमुच्चय (Proper Subset) |
| $\supset$ | महासमुच्चय (Superset) |
| $\emptyset$ | रिक्त समुच्चय (Empty Set) |
| $U$ | सार्वभौमिक समुच्चय (Universal Set) |
| $'$ | पूरक (Complement) |
1.3 अतिरिक्त उदाहरण (Examples)
🔹 उदाहरण 1: \(A = \{1,2,3\}\) और \(B = \{3,4,5\}\) तो:
👉 \(A \cup B = \{1,2,3,4,5\}\)
👉 \(A \cap B = \{3\}\)
👉 \(A - B = \{1,2\}\)
🔹 उदाहरण 2: सार्वभौमिक समुच्चय \(U = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) और \(A = \{2,4,6,8\}\) हो तो:
👉 \(A' = \{1,3,5,7,9\}\)
🔹 उदाहरण 3: यदि \(n(A) = 10, n(B) = 15,\) और \(n(A \cap B) = 5\) हो, तो:
👉 \(n(A \cup B) = 10 + 15 - 5 = 20\)
🔹 उदाहरण 4: यदि \(n(A) = 3\) हो, तो शक्ति समुच्चय \(P(A)\) में:
👉 \(n(P(A)) = 2^3 = 8\)
2. संबंध एवं फलन (Relations & Functions)
संबंध (Relation) समुच्चयों के कार्तिकेय गुणनफल का उपसमुच्चय होता है, और फलन (Function) एक विशेष प्रकार का संबंध है।
फलन मैपिंग (Function Mapping A → B)
2.1 संबंध (Relation) के 11 महत्वपूर्ण सूत्र एवं उदाहरण
यदि \(A\) और \(B\) दो गैर-रिक्त समुच्चय हैं, तो \(A \times B = \{(a,b) \mid a \in A \text{ और } b \in B\}\) कहलाता है।
👉 उदाहरण 1: यदि \(A = \{1,2\}\) और \(B = \{3,4\}\) तो \(A \times B\) ज्ञात कीजिए।
Step 1: \(A\) के प्रत्येक तत्त्व को \(B\) के प्रत्येक तत्त्व से जोड़ना।
Step 2: युग्म मिलेंगे: \((1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\)
Step 3: अतः \(A \times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}\)
यदि प्रत्येक \(a \in A\) के लिए \((a,a) \in R\) हो, तो संबंध परावर्ती होता है।
👉 उदाहरण 2: \(A = \{1,2\}\) और \(R = \{(1,1), (2,2)\}\) है। जाँचिए कि \(R\) परावर्ती है या नहीं।
Step 1: 1 के लिए \((1,1)\) है ✅ और 2 के लिए \((2,2)\) है ✅।
Step 2: सभी तत्त्व स्वयं से जुड़े हैं।
Step 3: अतः \(R\) परावर्ती संबंध है।
यदि \((a,b) \in R \implies (b,a) \in R\), तो संबंध प्रत्यावर्ती होता है।
👉 उदाहरण 3: \(A = \{1,2\}\) और \(R = \{(1,2), (2,1)\}\) है। जाँचिए कि \(R\) प्रत्यावर्ती है या नहीं।
Step 1: \((1,2)\) है और उसके साथ \((2,1)\) भी है ✅।
Step 2: दोनों ओर समानता है।
Step 3: अतः \(R\) प्रत्यावर्ती संबंध है।
यदि \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R \implies (a,c) \in R\), तो संबंध पारगम्य होता है।
👉 उदाहरण 4: \(A = \{1,2,3\}\) और \(R = \{(1,2), (2,3), (1,3)\}\) है। जाँचिए कि \(R\) पारगम्य है या नहीं।
Step 1: \((1,2)\) और \((2,3)\) है \(\implies\) तो \((1,3)\) होना चाहिए।
Step 2: \((1,3)\) है ✅।
Step 3: अतः \(R\) पारगम्य संबंध है।
यदि \(R = A \times A\) हो, अर्थात् प्रत्येक संभव युग्म \((a,b) \in R\) हो, तो संबंध सार्वत्रिक होता है।
👉 उदाहरण 5: \(A = \{1,2\}\) के लिए \(R = \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\}\) है।
Step 1: सभी संभव युग्म \((1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\) मौजूद हैं।
Step 2: कोई भी युग्म छूटा नहीं है।
Step 3: अतः \(R\) सार्वत्रिक संबंध है।
यदि \(R = \emptyset\) हो (कोई भी युग्म नहीं हो), तो संबंध रिक्त कहलाता है।
👉 उदाहरण 6: \(A = \{1,2,3\}\) और \(R = \emptyset\) है।
Step 1: \(R\) में कोई भी युग्म नहीं है।
Step 2: कोई भी तत्त्व आपस में संबंधित नहीं है।
Step 3: अतः यह रिक्त संबंध है।
अगर प्रत्येक तत्त्व \(A\) का अलग-अलग तत्त्वों से \(B\) में मेल हो, तो उसे एक-एक संबंध कहते हैं।
👉 उदाहरण 7: \(A = \{1,2,3\}, B = \{4,5,6\}\) और \(R = \{(1,4), (2,5), (3,6)\}\) है।
Step 1: \(1 \to 4, 2 \to 5, 3 \to 6\)।
Step 2: कोई दो तत्त्व एक ही तत्त्व से नहीं जुड़े।
Step 3: अतः यह एक-एक संबंध है।
अगर \(A\) का प्रत्येक तत्त्व \(B\) के केवल एक तत्त्व से जुड़ा हो, तो उसे कार्यात्मक संबंध कहते हैं।
👉 उदाहरण 8: \(A = \{a,b\}\) और \(B = \{1,2,3\}, R = \{(a,2), (b,3)\}\) है।
Step 1: \(a\) केवल 2 से और \(b\) केवल 3 से जुड़ा है।
Step 2: हर तत्त्व का एक ही output है।
Step 3: अतः \(R\) एक कार्यात्मक संबंध है।
यदि \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\) हो, तो \((a,c) \in R\) भी होना चाहिए।
👉 उदाहरण 9: \(A = \{1,2,3\}\) और \(R = \{(1,2), (2,3), (1,3)\}\) है।
Step 1: \((1,2)\) और \((2,3)\) है \(\implies\) तो \((1,3)\) होना चाहिए।
Step 2: \((1,3)\) है ✅।
Step 3: अतः \(R\) संक्रमणशील संबंध है।
दो समुच्चयों \(A\) और \(B\) का कार्टेशियन गुणनफल \(A \times B\) है, जिसमें सभी संभव युग्म \((a,b)\) होते हैं।
👉 उदाहरण 10: \(A = \{1,2\}\) और \(B = \{3,4\}\) है।
Step 1: \(A \times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}\)
Step 2: यह सभी संभव युग्म हैं।
Step 3: अतः \(A \times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}\) है।
यदि एक संबंध Reflexive, Symmetric और Transitive तीनों हो, तो उसे समतुल्यता संबंध कहते हैं।
👉 उदाहरण 11: \(A = \{1,2,3\}\) और \(R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)\}\) है।
Step 1: Reflexive: \((1,1), (2,2), (3,3)\) हैं ✅।
Step 2: Symmetric: \((1,2)\) और \((2,1)\) हैं ✅।
Step 3: Transitive: \((1,2)\) और \((2,1)\) होने पर \((1,1)\) होना चाहिए, जो है ✅।
Step 4: सभी गुण पूर्ण होने पर, \(R\) समतुल्यता संबंध है।
2.2 फलन (Function) के Formulas & प्रकार
एक संबंध \(f: A \to B\) फलन है यदि \(A\) का प्रत्येक तत्त्व \(B\) के केवल एक तत्त्व से जुड़ा हो।
👉 उदाहरण 1: यदि \(A = \{1,2\}\) और \(B = \{3,4\}\), तो \(A \times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}\) है, लेकिन यह फलन नहीं है क्योंकि 1 का संबंध 3 और 4 दोनों से है।
यदि फलन \(f: A \to B\) में \(A\) का प्रत्येक तत्त्व \(B\) के अलग-अलग तत्त्व से जुड़ा हो, तो इसे एक-एक फलन कहते हैं।
👉 उदाहरण 2: यदि \(A = \{1, 2\}\) और \(B = \{3, 4\}\), तथा \(f(1) = 3, f(2) = 4\)। यह एक-एक फलन है।
यदि \(B\) के प्रत्येक तत्त्व से कम से कम एक तत्त्व \(A\) में जुड़ा हो (अर्थात \(\text{Range} = \text{Codomain}\)), तो इसे onto फलन कहते हैं।
👉 उदाहरण 3: यदि \(A = \{1,2\}\) और \(B = \{3,4\}\), तथा \(f(1) = 3, f(2) = 4\)। यह onto फलन है।
फलन \(f: A \to B\) को बायिजेक्टिव फलन कहा जाता है यदि वह एक-एक (One-to-One) और onto दोनों हो।
👉 उदाहरण 4: यदि \(A = \{1,2\}\) और \(B = \{3,4\}\), तथा \(f(1) = 3, f(2) = 4\)। यह बायिजेक्टिव फलन है।
फलन के उस भाग को रेंज कहते हैं, जो \(B\) के तत्वों के समूह में से प्राप्त होता है।
👉 उदाहरण 5: यदि \(A = \{1, 2\}\) और \(B = \{3, 4, 5\}\), और \(f(1) = 3, f(2) = 4\) है, तो परिसर (Range) = \(\{3, 4\}\)।
3. त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions) — संपूर्ण सूत्र संग्रह
त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जो त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के संबंधों तथा वृत्तीय फलनों का अध्ययन करती है।
इकाई वृत्त एवं चतुर्थांश (Unit Circle & Quadrants)
3.1 रेडियन तथा डिग्री माप (Radian & Degree Measures)
- $1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57^\circ 17' 45''$
- $1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ rad} \approx 0.017453 \text{ rad}$
- $1' = \frac{\pi}{180 \times 60} \text{ rad} \approx 0.000291 \text{ rad}$
- $1'' = \frac{\pi}{180 \times 3600} \text{ rad} \approx 0.000005 \text{ rad}$
3.2 मूल त्रिकोणमितीय अनुपात एवं व्युत्क्रम सूत्र
समकोण त्रिभुज में: \(\text{Opposite Side} = \text{लम्ब}, \text{Hypotenuse} = \text{कर्ण}, \text{Adjacent Side} = \text{आधार}\)
$\text{(कर्ण)}^2 = \text{(लम्ब)}^2 + \text{(आधार)}^2$ $\text{(लम्ब)}^2 = \text{(कर्ण)}^2 - \text{(आधार)}^2, \quad \text{(आधार)}^2 = \text{(कर्ण)}^2 - \text{(लम्ब)}^2$| अनुपात | परिभाषा | व्युत्क्रम संबंध |
|---|---|---|
| $\sin\theta$ | \(\frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}}\) | $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} = \frac{\text{कर्ण}}{\text{लम्ब}}$ |
| $\cos\theta$ | \(\frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}}\) | $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} = \frac{\text{कर्ण}}{\text{आधार}}$ |
| $\tan\theta$ | \(\frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}}\) | $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\text{आधार}}{\text{लम्ब}}$ |
भागफल सर्वसमिकाएँ (Quotient Identities):
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$3.3 त्रिकोणमितीय सारणी (Trigonometric Chart)
| Angle (\(\theta\)) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| Sine (\(\sin\theta\)) | 0 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | 1 |
| Cosine (\(\cos\theta\)) | 1 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\frac{1}{2}$ | 0 |
| Tangent (\(\tan\theta\)) | 0 | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | 1 | $\sqrt{3}$ | \(\infty\) |
| Cotangent (\(\cot\theta\)) | \(\infty\) | $\sqrt{3}$ | 1 | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | 0 |
| Secant (\(\sec\theta\)) | 1 | $\frac{2}{\sqrt{3}}$ | $\sqrt{2}$ | 2 | \(\infty\) |
| Cosecant (\(\csc\theta\)) | \(\infty\) | 2 | $\sqrt{2}$ | $\frac{2}{\sqrt{3}}$ | 1 |
3.4 पाइथागोरस, सम-विषम तथा चतुर्थांश सर्वसमिकाएँ
पाइथागोरस सर्वसमिकाएँ:
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, \quad \sec^2\theta - \tan^2\theta = 1, \quad \csc^2\theta - \cot^2\theta = 1$सम-विषम सर्वसमिकाएँ (Even-Odd Identities):
$\sin(-\theta) = -\sin\theta, \quad \cos(-\theta) = \cos\theta, \quad \tan(-\theta) = -\tan\theta$ $\csc(-\theta) = -\csc\theta, \quad \sec(-\theta) = \sec\theta, \quad \cot(-\theta) = -\cot\theta$चतुर्थांश रूपांतरण नियम (Co-Ratio Identities):
| कोण \(\theta\) | sin | cos | tan | cot | sec | csc |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(90^\circ - \theta\) | \(\cos\theta\) | \(\sin\theta\) | \(\cot\theta\) | \(\tan\theta\) | \(\csc\theta\) | \(\sec\theta\) |
| \(90^\circ + \theta\) | \(\cos\theta\) | \(-\sin\theta\) | \(-\cot\theta\) | \(-\tan\theta\) | \(-\csc\theta\) | \(\sec\theta\) |
| \(180^\circ - \theta\) | \(\sin\theta\) | \(-\cos\theta\) | \(-\tan\theta\) | \(-\cot\theta\) | \(-\sec\theta\) | \(\csc\theta\) |
| \(180^\circ + \theta\) | \(-\sin\theta\) | \(-\cos\theta\) | \(\tan\theta\) | \(\cot\theta\) | \(-\sec\theta\) | \(-\csc\theta\) |
3.5 योग, अंतर, द्वि-कोण एवं बहु-कोण सूत्र
योग एवं अंतर सूत्र (Addition & Subtraction):
$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y, \quad \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y, \quad \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}, \quad \tan(x-y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}$ $\cot(x+y) = \frac{\cot x \cot y - 1}{\cot y + \cot x}, \quad \cot(x-y) = \frac{\cot x \cot y + 1}{\cot y - \cot x}$द्वि-कोण सूत्र (Double Angle Formulas):
$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$ $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = \frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}$ $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}, \quad \cot 2\theta = \frac{\cot^2\theta - 1}{2\cot\theta}$त्रि-कोण एवं बहु-कोण सूत्र (Multiple Angle Formulas):
$\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ $\sin 4\theta = 4\sin\theta\cos\theta - 8\sin^3\theta\cos\theta$ $\sin 5\theta = 5\sin\theta - 20\sin^3\theta + 16\sin^5\theta$ $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ $\cos 4\theta = 8\cos^4\theta - 8\cos^2\theta + 1$ $\cos 5\theta = 16\cos^5\theta - 20\cos^3\theta + 5\cos\theta$ $\tan 3\theta = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$ $\tan 4\theta = \frac{4\tan\theta - 4\tan^3\theta}{1 - 6\tan^2\theta + \tan^4\theta}$ $\tan 5\theta = \frac{\tan^5\theta - 10\tan^3\theta + 5\tan\theta}{1 - 10\tan^2\theta + 5\tan^4\theta}$ $\cot 3\theta = \frac{\cot^3\theta - 3\cot\theta}{3\cot^2\theta - 1}$3.6 आवर्ती, अर्ध-कोण, गुणनफल एवं योग रूपांतरण सूत्र
आवर्ती नियम (Periodic Identities):
$\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta, \quad \cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta, \quad \tan(\theta + \pi) = \tan\theta$अर्ध-कोण सूत्र (Half Angle Formulas):
$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}, \quad \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$ $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}} = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$ $\sin \alpha = \frac{2\tan(\alpha/2)}{1+\tan^2(\alpha/2)}$गुणनफल से योग (Product to Sum):
$\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ $\cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) - \sin(A-B)]$ $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$योग से गुणनफल (Sum to Product):
$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ $\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ $\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ $\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$3.7 त्रिभुज के नियम, यूलर सूत्र, चेबिशेव एवं प्रतिलोम फलन
साइन का नियम (Law of Sines): \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)
कोसाइन का नियम (Law of Cosines): \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C, \, a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)
टैनजेंट का नियम (Law of Tangents): \(\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)\)
त्रिभुज का क्षेत्रफल: \(\text{Area} = \frac{1}{2} ab \sin C\)
चेबिशेव बहुपद (Chebyshev Polynomials):
$T_n(x) = \cos(n \cos^{-1} x), \quad U_n(x) = \frac{\sin((n+1)\cos^{-1} x)}{\sin(\cos^{-1} x)}$यूलर के घातांकीय सूत्र (Euler's Formulas):
$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta, \quad e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$ $\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}, \quad \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$प्रतिलोम त्रिकोणमितीय योग सूत्र:
$\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \sin^{-1}\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right)$ $\cos^{-1} x + \cos^{-1} y = \cos^{-1}\left(xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right)$ $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$त्रिकोणमितीय समीकरणों के सामान्य हल (General Solutions):
$\sin\theta = 0 \implies \theta = n\pi \quad (n \in \mathbb{Z})$ $\cos\theta = 0 \implies \theta = (2n+1)\frac{\pi}{2} \quad (n \in \mathbb{Z})$ $\tan\theta = 0 \implies \theta = n\pi$ $\sin\theta = a \implies \theta = n\pi + (-1)^n \arcsin(a)$ $\cos\theta = a \implies \theta = 2n\pi \pm \arccos(a)$ $\tan\theta = a \implies \theta = n\pi + \arctan(a)$4. सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers) — संपूर्ण सूत्र एवं उदाहरण
सम्मिश्र संख्या (Complex Number) \(z = a + bi\) के रूप में व्यक्त होती है, जहाँ \(a\) वास्तविक भाग और \(b\) काल्पनिक भाग है तथा \(i = \sqrt{-1}\)।
आर्गंड समतल (Argand Plane) एवं मापांक/कोणांक
4.1 सम्मिश्र संख्या की 17 सर्वसमिकाएँ एवं उदाहरण
$z = a + bi \quad (i = \sqrt{-1}, \, i^2 = -1)$
👉 उदाहरण 1: \(z = 3 + 4i\). यहाँ वास्तविक भाग \(a = 3\) तथा काल्पनिक भाग \(b = 4\) है।
$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
👉 उदाहरण 2: \((3 + 4i) + (1 + 2i) = (3+1) + (4+2)i = 4 + 6i\)
$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$
👉 उदाहरण 3: \((3 + 4i)(1 + 2i) = (3 \times 1 - 4 \times 2) + (3 \times 2 + 4 \times 1)i = -5 + 10i\)
$\bar{z} = a - bi$
👉 उदाहरण 4: यदि \(z = 3 + 4i\), तो \(\bar{z} = 3 - 4i\)
$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$
👉 उदाहरण 5: \(\frac{3 + 4i}{1 + 2i} = \frac{(3 \times 1 + 4 \times 2) + (4 \times 1 - 3 \times 2)i}{1^2 + 2^2} = \frac{11 - 2i}{5} = \frac{11}{5} - \frac{2}{5}i\)
$|z| = r = \sqrt{a^2 + b^2}$
👉 उदाहरण 6: \(z = 3 + 4i \implies |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\)
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$
👉 उदाहरण 7: \(z = 1 + \sqrt{3}i \implies \theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}/1) = \frac{\pi}{3} = 60^\circ\)
$z = r (\cos\theta + i \sin\theta)$
👉 उदाहरण 8: \(z = 1 + \sqrt{3}i \implies z = 2 \left(\cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3}\right)\)
$z = r e^{i\theta}$
👉 उदाहरण 9: \(z = 2 e^{i \pi / 3}\)
$\text{Re}(z) = a = \frac{z + \bar{z}}{2}, \quad \text{Im}(z) = b = \frac{z - \bar{z}}{2i}$
$r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$
$a = r \cos\theta, \quad b = r \sin\theta$
$(\cos\theta + i \sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$
👉 उदाहरण 13: \((\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ)^3 = \cos 90^\circ + i \sin 90^\circ = i\)
$z^{1/n} = r^{1/n} \left[ \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right], \quad k = 0, 1, \dots, n-1$
$z = |z| (\cos\theta + i \sin\theta)$
$(a + bi)^3 = (a^3 - 3ab^2) + (3a^2b - b^3)i$
$1, \quad \omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \quad \omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ $\text{गुणधर्म: } 1 + \omega + \omega^2 = 0, \quad \omega^3 = 1$
5. द्विघात समीकरण एवं रैखिक असमीकाएँ (Quadratic Equations & Linear Inequalities)
द्विघात व्यंजक का परवलयाकार आलेख (Parabola Graph of \(y = ax^2 + bx + c\))
5.1 द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)
$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$\Delta = b^2 - 4ac$
🔹 यदि \(\Delta > 0\): दो वास्तविक एवं भिन्न मूल।
🔹 यदि \(\Delta = 0\): दो बराबर वास्तविक मूल (\(x = -b / 2a\))।
🔹 यदि \(\Delta < 0\): दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल (\(x = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}\))।
👉 गुणनखंडन विधि (Factorization Method)
👉 पूर्ण वर्ग बनाकर हल करना (Completing the Square Method)
👉 द्विघाती सूत्र द्वारा (Quadratic Formula Method)
Step 1: मध्य पद को तोड़ें \(-5x = -2x - 3x\)
Step 2: \(x(x - 2) - 3(x - 2) = 0 \implies (x - 2)(x - 3) = 0\)
Step 3: \(x = 2\) अथवा \(x = 3\)
Step 1: द्विघाती सूत्र \(\Delta = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25\)
Step 2: \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{-3 \pm 5}{4}\)
Step 3: \(x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) तथा \(x = \frac{-8}{4} = -2\)
5.2 रैखिक असमीकाएँ (Linear Inequalities)
$ax + b < c, \quad ax + b > c, \quad ax + b \le c, \quad ax + b \ge c$
👉 बीजगणितीय विधि (Algebraic Method)
👉 आलेखीय विधि (Graphical Method on Number Line / Coordinate Plane)
Step 1: दोनों तरफ 3 घटाएँ \(\implies 2x \le 4\)
Step 2: 2 से भाग दें \(\implies x \le 2\)
Step 3: अंतराल रूप: \(x \in (-\infty, 2]\)
Step 1: दोनों तरफ 5 जोड़ें \(\implies 3x > 15\)
Step 2: 3 से भाग दें \(\implies x > 5\)
Step 3: अंतराल रूप: \(x \in (5, \infty)\)
Step 1: दोनों तरफ 4 घटाएँ \(\implies 5x \ge 5\)
Step 2: 5 से भाग दें \(\implies x \ge 1\)
Step 3: अंतराल रूप: \(x \in [1, \infty)\)
6. क्रमचय और संचय (Permutations & Combinations)
गणना के आधारभूत सिद्धांतों द्वारा वस्तुओं को व्यवस्थित करने (क्रमचय) और चुनने (संचय) के नियम पढ़े जाते हैं।
6.1 मुख्य सूत्र एवं संकल्पनाएँ
$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1, \quad 0! = 1$
वस्तुओं के क्रमबद्ध विन्यास (Arrangement with order).
$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}, \quad P(n) = n!$
🔹 वृत्ताकार क्रमचय (Circular Permutation): \((n-1)!\)
🔹 पुनरावृत्ति वाले क्रमचय: \(\frac{n!}{p! \, q! \, r!}\)
वस्तुओं के चयन (Selection without order).
$C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
🔹 गुणधर्म: \(^{n}C_{r} = ^{n}C_{n-r}\)
🔹 \(^{n}C_{0} = 1, \quad ^{n}C_{n} = 1\)
🔹 पास्कल सर्वसमिका: \(^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}\)
| विशेषता | क्रमचय (Permutation) | संचय (Combination) |
|---|---|---|
| मुख्य उद्देश्य | क्रम/विन्यास (Arrangement) | चयन/समूह (Selection) |
| क्रम का महत्व | हाँ (Order matters) | नहीं (Order doesn't matter) |
| सूत्र | $P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ | $C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ |
5 व्यक्तियों में से 3 व्यक्तियों का चयन एवं विन्यास करना:
👉 क्रमचय (Permutations):
$P(5,3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 60 \text{ प्रकार}$
👉 संचय (Combinations):
$C(5,3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10 \text{ प्रकार}$
7. द्विपद प्रमेय एवं मूलभूत गणितीय प्रमेय (Binomial Theorem & Theorems)
द्विपद प्रमेय के माध्यम से किसी भी द्विपद व्यंजक के धनात्मक पूर्णांक घात के प्रसार का सूत्र प्राप्त होता है।
7.1 द्विपद प्रमेय के मुख्य सूत्र एवं प्रसार
$(a+b)^n = \sum_{r=0}^n ^{n}C_{r} a^{n-r} b^r = ^{n}C_{0}a^n + ^{n}C_{1}a^{n-1}b + ^{n}C_{2}a^{n-2}b^2 + \dots + ^{n}C_{n}b^n$
प्रसार का \((r+1)\)-वाँ पद:
$T_{r+1} = ^{n}C_{r} \, a^{n-r} \, b^r$
🔹 यदि \(n\) सम (Even) है: केवल एक मध्य पद होगा \(\implies T_{(n/2) + 1}\)
🔹 यदि \(n\) विषम (Odd) है: दो मध्य पद होंगे \(\implies T_{(n+1)/2}\) तथा \(T_{(n+3)/2}\)
$^{n}C_{0} + ^{n}C_{1} + ^{n}C_{2} + \dots + ^{n}C_{n} = 2^n$ $^{n}C_{0} + ^{n}C_{2} + ^{n}C_{4} + \dots = ^{n}C_{1} + ^{n}C_{3} + ^{n}C_{5} + \dots = 2^{n-1}$
🔹 पाइथागोरस प्रमेय: \(c^2 = a^2 + b^2\)
🔹 त्रिभुज असमीका: \(|a + b| \le |a| + |b|\)
🔹 साधारण ब्याज: \(SI = \frac{P \times R \times T}{100}\)
🔹 पिरामिड का आयतन: \(V = \frac{1}{3} B h\)
8. अनुक्रम और श्रेणी (Sequence and Series)
संख्याओं के नियमबद्ध क्रम को अनुक्रम (Sequence) तथा उनके योग को श्रेणी (Series) कहते हैं।
8.1 समांतर श्रेणी (AP) एवं गुणोत्तर श्रेणी (GP) के सूत्र
$\text{सामान्य रूप: } a, \, a+d, \, a+2d, \, \dots$ $n\text{-वाँ पद: } a_n = a_1 + (n-1)d$ $n \text{ पदों का योग: } S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2} [a_1 + a_n]$
👉 उदाहरण (AP): \(a_1 = 2, d = 3, n = 5\)
$S_5 = \frac{5}{2} [2(2) + (5-1)3] = \frac{5}{2} [4 + 12] = \frac{5}{2} \times 16 = 40$
$\text{सामान्य रूप: } a, \, ar, \, ar^2, \, \dots$ $n\text{-वाँ पद: } a_n = a_1 r^{n-1}$ $n \text{ पदों का योग: } S_n = \frac{a_1 (1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1)$
👉 उदाहरण (GP 4 पद योग): \(a_1 = 3, r = 2, n = 4\)
$S_4 = \frac{3(1 - 2^4)}{1 - 2} = \frac{3(1 - 16)}{-1} = \frac{-45}{-1} = 45$
जब \(|r| < 1\) हो:
$S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}$
👉 उदाहरण (अनंत GP): \(a_1 = 5, r = 1/2\)
$S_\infty = \frac{5}{1 - 1/2} = \frac{5}{1/2} = 10$
9. सरल रेखाएँ (Straight Lines) — 16 मूलभूत रूप एवं सूत्र
द्विविमीय समतल में सरल रेखा के विभिन्न समीकरण रूपों, प्रवणता (ढाल) तथा दूरियों के सूत्र।
सरल रेखाएँ — ढाल (\(m = \tan\theta\)) एवं प्रच्छेदन बिंदु
9.1 सरल रेखा के 16 महत्वपूर्ण रूप, सूत्र एवं हल सहित उदाहरण
$Ax + By + C = 0 \implies \text{ढाल } m = -\frac{A}{B}$
👉 उदाहरण 1: रेखा \(2x + 3y - 5 = 0\) का व्यापक रूप है।
👉 उदाहरण 2: रेखा \(4x + 5y + 7 = 0\) की ढाल ज्ञात कीजिए।
Step 1: ढाल का सूत्र \(m = -A/B\)
Step 2: \(A = 4, B = 5\)
Step 3: अतः ढाल \(m = -4/5\)
$(y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1)$
👉 उदाहरण 3: बिंदु \((2,3)\) तथा \((4,7)\) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
Step 1: \(m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2\)
Step 2: \((y - 3) = 2(x - 2) \implies y - 3 = 2x - 4\)
Step 3: \(2x - y - 1 = 0\)
$(y - y_1) = m(x - x_1)$
👉 उदाहरण 4: ढाल \(m = 3\) तथा बिंदु \((1,2)\) से होकर जाने वाली रेखा:
\(y - 2 = 3(x - 1) \implies 3x - y - 1 = 0\)
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
👉 उदाहरण 5: \(x\)-अंतःखंड \(a = 3\) तथा \(y\)-अंतःखंड \(b = 4\) हो, तो:
\(\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \implies 4x + 3y = 12\)
$\tan\theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$
👉 उदाहरण 6: यदि \(m_1 = 1\) और \(m_2 = 2\) हो, तो:
\(\tan\theta = \left| \frac{2 - 1}{1 + (1)(2)} \right| = \frac{1}{3} \implies \theta = \tan^{-1}(1/3)\)
$d = \frac{|A x_1 + B y_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
👉 उदाहरण 7: बिंदु \((2,3)\) से रेखा \(3x + 4y - 5 = 0\) की दूरी:
Step 1: \(d = \frac{|3(2) + 4(3) - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 + 12 - 5|}{5}\)
Step 2: \(d = \frac{13}{5} = 2.6 \text{ इकाई}\)
$d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
👉 उदाहरण 8: रेखाओं \(3x + 4y - 5 = 0\) तथा \(3x + 4y + 7 = 0\) के बीच की दूरी:
\(d = \frac{|7 - (-5)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ इकाई}\)
वे रेखाएँ जो एक ही उभयनिष्ठ बिंदु से होकर गुजरती हैं।
👉 उदाहरण 9: \(x + y - 5 = 0, \, 2x - y + 1 = 0, \, x - 3y + 7 = 0\)
$x \cos\theta + y \sin\theta = p$
👉 उदाहरण 10: रेखा \(3x + y = 2\) का अभिलंब रूप।
$m_1 \times m_2 = -1$
👉 उदाहरण 11: यदि एक रेखा की ढाल \(m_1 = 2\) है, तो लंबवत रेखा की ढाल \(m_2 = -1/2\) होगी।
$y - y_1 = m(x - x_1)$
👉 उदाहरण 12: बिंदु \((2,3)\) तथा ঢाल \(m = 4 \implies 4x - y - 5 = 0\)
$m_1 = m_2$
👉 उदाहरण 13: रेखा \(2x - 3y + 7 = 0\) के समांतर एवं बिंदु \((1,2)\) से गुजरने वाली रेखा:
\(2(x-1) - 3(y-2) = 0 \implies 2x - 3y + 4 = 0\)
$y = mx + c$
👉 उदाहरण 14: यदि ढाल \(m = 3\) तथा \(y\)-अंतःखंड \(c = 5\) हो, तो रेखा: \(y = 3x + 5\)
रेखाओं के निकाय को हल करना।
👉 उदाहरण 15: \(x + y = 5\) तथा \(x - y = 1\) का प्रतिच्छेद बिंदु \((3, 2)\) है।
$\left( \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n} \right)$
👉 उदाहरण 16: बिंदु \((2,3)\) तथा \((4,7)\) को \(2:3\) के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक:
\(x = \frac{2(4) + 3(2)}{2+3} = \frac{14}{5} = 2.8\), \(y = \frac{2(7) + 3(3)}{2+3} = \frac{23}{5} = 4.6 \implies (2.8, 4.6)\)
10. शंकवक्र / शंकु परिच्छेद (Conic Sections)
वृत्त, परवलय, दीर्घवृत्त एवं अतिपरवलय के मानक समीकरण, नाभि, नियता, नाभिलंब तथा शीर्ष।
शंक परिच्छेद — वृत्त, परवलय, दीर्घवृत्त एवं अतिपरवलय
10.1 मानक समीकरण एवं विशेषताएं
$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$
👉 उदाहरण 1: केंद्र \((2,3)\) तथा त्रिज्या \(r = 5\) वाला वृत्त:
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25 \implies x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0$
मानक रूप: \(y^2 = 4ax\) (X-अक्ष के अनुदिश)
👉 उदाहरण 2: शीर्ष \((0,0)\) एवं नाभि \((2,0)\) होने पर \(a = 2 \implies y^2 = 8x\)
परवलय की 4 स्थितियाँ (Tricks):
🔹 \(y^2 = 4ax\) (दाएँ खुला - Right)
🔹 \(y^2 = -4ax\) (बाएँ खुला - Left)
🔹 \(x^2 = 4ay\) (ऊपर खुला - Upward)
🔹 \(x^2 = -4ay\) (नीचे खुला - Downward)
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b, \, c = \sqrt{a^2 - b^2}, \, e = c/a)$
👉 उदाहरण 3: यदि \(a = 5, b = 3\) हो, तो दीर्घवृत्त:
$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (c = \sqrt{a^2 + b^2})$
👉 उदाहरण 4: यदि \(a = 4, b = 3\) हो, तो अतिपरवलय:
$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$
🔹 परवलय \(y^2 = 4ax \implies \text{नाभि } (a,0)\) [उदाहरण: \(y^2 = 8x \implies (2,0)\)]
🔹 दीर्घवृत्त \(\implies (\pm c, 0)\)
🔹 अतिपरवलय \(\implies (\pm c, 0)\)
🔹 परवलय \(y^2 = 4ax \implies x = -a\) [उदाहरण: \(y^2 = 8x \implies x = -2\)]
🔹 दीर्घवृत्त \(\implies x = \pm a/e\)
🔹 अतिपरवलय \(\implies x = \pm a/e\)
🔹 परवलय का नाभिलंब = \(4a\) [उदाहरण: \(y^2 = 8x \implies 8 \text{ इकाई}\)]
🔹 दीर्घवृत्त एवं अतिपरवलय का नाभिलंब = \(\frac{2b^2}{a}\)
🔹 स्थानांतरण शीर्ष उदाहरण: \((y-2)^2 = 8(x+3) \implies \text{शीर्ष } (-3, 2)\)
11. त्रिविमीय ज्यामिति (Three-Dimensional Geometry) — 19 मुख्य सूत्र
त्रिविमीय क्षेत्र (3D Space - X, Y, Z अक्ष) में बिंदुओं, रेखाओं तथा समतलों के नियम व समीकरण।
त्रिविमीय निर्देशांक तंत्र (3D Cartesian Frame X, Y, Z)
11.1 त्रिविमीय ज्यामिति के 19 प्रमुख सूत्र
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \, \frac{y_1 + y_2}{2}, \, \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$
🔹 X-अक्ष से दूरी \(= \sqrt{y^2 + z^2}\)
🔹 Y-अक्ष से दूरी \(= \sqrt{x^2 + z^2}\)
🔹 Z-अक्ष से दूरी \(= \sqrt{x^2 + y^2}\)
$\text{सदिश रूप: } \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ $\text{कार्तिकेय रूप: } \frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$
$\cos\theta = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
$Ax + By + Cz + D = 0$
$\vec{r} \cdot \vec{n} = d$
$D = \frac{|A x_1 + B y_1 + C z_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
$\cos\theta = \frac{A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$
$\sin\theta = \frac{Aa + Bb + Cc}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
$D = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$
$z^2 = x^2 + y^2$
12. सीमाएँ और अवकलज (Limits & Derivatives) — संपूर्ण सूत्र
कलन (Calculus) की शुरुआत सीमाओं (Limits) तथा अवकलज (Derivatives) के अध्ययन से होती है।
अवकलज — स्पर्श रेखा की ढाल (\(\tan\theta = f'(x)\))
12.1 सीमाएँ (Limits)
$\lim_{x \to a} x^n = a^n, \quad \lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x - a} = n a^{n-1}$ $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^n - 1}{x} = n$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}, \quad \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}$
$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0, \quad \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0$ $\lim_{x \to \infty} \frac{a x^n + \dots}{b x^n + \dots} = \frac{a}{b}$
फलन \(f(x)\) बिंदु \(x = a\) पर संतत है यदि:
$\text{LHL} = \text{RHL} = f(a) \implies \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$
12.2 अवकलज (Derivatives) — 13 प्रमुख नियम
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
$\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$
$\frac{d}{dx} [f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
$\frac{d}{dx} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}$
$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x, \quad \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$
$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x, \quad \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$ $\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x, \quad \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x, \quad \frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x$
$\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$
$f''(x) = \frac{d^2 f}{dx^2}, \quad f^{(n)}(x) = \frac{d^n f}{dx^n}$
उदाहरण: \(x^2 + y^2 = 1 \implies 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\)
$\frac{d}{dx}(\sqrt{g(x)}) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$
13. गणितीय तर्कशास्त्र एवं कथन (Mathematical Reasoning)
गणितीय कथनों की सत्यता, संयोजन, प्रतिधनात्मक (Contrapositive), विलोम (Converse) तथा उपपत्ति (Proof) के नियम।
13.1 कथनों के प्रकार एवं नियम
एक ऐसा वाक्य जो या तो पूर्णतः सत्य हो या पूर्णतः असत्य हो, परंतु दोनों नहीं।
यदि कथन \(p\) है, तो इसका निषेधन 'नोट \(p\)' या \(\sim p\) कहलाता है।
🔹 तथा (And - \(\wedge\)): सत्य तभी जब दोनों घटक सत्य हों।
🔹 या (Or - \(\vee\)): सत्य जब कम से कम एक घटक सत्य हो।
"यदि \(p\), तो \(q\)"।
🔹 प्रतिधनात्मक (Contrapositive): \(\sim q \implies \sim p\)
🔹 विलोम (Converse): \(q \implies p\)
👉 प्रत्यक्ष विधि (Direct Method)
👉 विरोधाभास द्वारा उपपत्ति (Proof by Contradiction)
👉 प्रतिधनात्मक विधि (Contrapositive Method)
14. सांख्यिकी (Statistics) — 18 प्रमुख सूत्र
केंद्रीय प्रवृत्ति के माप (माध्य, माध्यिका, बहुलक) तथा प्रकीर्णन के माप (माध्य विचलन, मानक विचलन, प्रसरण)।
आवृत्ति आयतचित्र एवं सामान्य प्रसामान्य वक्र (Histogram & Bell Curve)
14.1 सांख्यिकी के 18 महत्वपूर्ण सूत्र
$\text{Class Width} = \frac{\text{उच्चतम मान} - \text{निम्नतम मान}}{\text{वर्गों की संख्या}}$
$\text{Class Midpoint} = \frac{\text{निचली सीमा} + \text{ऊपरी सीमा}}{2}$
$\text{अवर्गीकृत: } \bar{x} = \frac{\sum x}{n}, \quad \text{वर्गीकृत: } \bar{x} = \frac{\sum f x}{\sum f}$
$M = L + \left( \frac{\frac{N}{2} - CF}{f} \right) \times h$
$Z = L + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
$\text{माध्य के परितः: } MD(\bar{x}) = \frac{\sum |x - \bar{x}|}{n}, \quad \text{माध्यिका के परितः: } MD(M) = \frac{\sum |x - M|}{n}$
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x - \bar{x})^2}{n}} = \sqrt{\frac{\sum f(x - \bar{x})^2}{\sum f}}$
$\text{प्रसरण} = \sigma^2$
$CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}}\right) \times 100\%$
$\bar{x}_{\text{combined}} = \frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2}{n_1 + n_2}$
$QD = \frac{Q_3 - Q_1}{2}$
$\text{Coeff of QD} = \frac{Q_3 - Q_1}{Q_3 + Q_1}$
$\bar{x} = a + \frac{\sum f d}{\sum f} \quad (d = x - a)$
$\bar{x} = a + \left(\frac{\sum f u}{\sum f}\right) \times h \quad \left(u = \frac{x - a}{h}\right)$
$\text{बहुलक (Mode)} = 3 \times \text{माध्यिका (Median)} - 2 \times \text{माध्य (Mean)}$
15. प्रायिकता (Probability) — 15 मुख्य सूत्र
किसी घटना के घटित होने की संभावना का गणितीय माप।
सप्रतिबंध प्रायिकता एवं वेस प्रमेय का वृक्ष आरेख (Probability Tree Diagram)
15.1 प्रायिकता के 15 महत्वपूर्ण सूत्र
$P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभव परिणामों की संख्या}}, \quad 0 \le P(E) \le 1, \quad P(S) = 1$
$P(E') = 1 - P(E)$
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
अपवर्जी घटनाओं (Mutually Exclusive Events) के लिए: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$
स्वतंत्र घटनाओं (Independent Events) के लिए: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)$
$P(X = r) = ^{n}C_{r} \, p^r \, (1-p)^{n-r}$
$E(X) = \mu = \sum x_i P(x_i)$
$V(X) = \sigma^2 = \sum (x_i - E(X))^2 P(x_i) = E(X^2) - [E(X)]^2$ $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
$P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i) \cdot P(B|A_i)$
$P(A_i | B) = \frac{P(B | A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{k=1}^n P(B | A_k) \cdot P(A_k)}$
$P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) \, dx$
$\mu = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx$
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