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कक्षा 12 गणित (Class 12 Mathematics) — संपूर्ण सूत्र संग्रह एवं विस्तृत मास्टर गाइड
यह अध्ययन सामग्री कक्षा 12 गणित (NCERT, CBSE एवं समस्त राज्य शिक्षा बोर्ड) के पूर्ण पाठ्यक्रम का 100% संपूर्ण, प्रामाणिक व विस्तृत संग्रह है। इसमें संबंध व फलन, प्रतिलोम त्रिकोणमिति, आव्यूह, सारणिक, सांतत्य, अवकलज, समाकलन, अवकल समीकरण, सदिश, 3D ज्यामिति, रैखिक प्रोग्रामन, प्रायिकता, क्षेत्रमिति (2D & 3D Shapes) एवं सांख्यिकी के सभी सूत्र, नियम एवं उदाहरण शामिल हैं।
1. संबंध और फलन (Relations and Functions)
समुच्चय के अवयवों के बीच संबंध, फलन की संकल्पना, फलन के प्रकार, फलनों का संयोजन, व्युत्क्रमणीय फलन तथा द्विआधारी संक्रियाएँ।
1.1 संबंध (Relations) एवं इसके प्रकार
परिभाषा: यदि \(A\) और \(B\) दो अरिक्त समुच्चय हैं, तो \(A\) से \(B\) में संबंध \(R\), कार्तीय गुणनफल \(A \times B\) का एक उपसमुच्चय होता है (\(R \subseteq A \times B\))। यदि \((a, b) \in R\), तो इसे लिखते हैं \(a R b\) (अर्थात \(a\) का संबंध \(b\) से है)।
संबंध के मुख्य प्रकार:
🔹 रिक्त संबंध (Empty Relation): \(R = \emptyset \subset A \times A\)
🔹 सार्वत्रिक संबंध (Universal Relation): \(R = A \times A\)
🔹 तत्समक संबंध (Identity Relation): \(I_A = \{(a, a) : a \in A\}\)
🔹 स्वतुल्य / परावर्ती संबंध (Reflexive Relation): यदि प्रत्येक \(a \in A\) के लिए \((a, a) \in R\)।
🔹 सममित संबंध (Symmetric Relation): यदि \((a, b) \in R \implies (b, a) \in R\) (सभी \(a, b \in A\))।
🔹 संक्रामक / पारगामी संबंध (Transitive Relation): यदि \((a, b) \in R\) तथा \((b, c) \in R \implies (a, c) \in R\)।
🔹 तुल्यता संबंध (Equivalence Relation): यदि कोई संबंध स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक तीनों गुणधर्मों का पालन करे।
🔹 रिक्त संबंध (Empty Relation): \(R = \emptyset \subset A \times A\)
🔹 सार्वत्रिक संबंध (Universal Relation): \(R = A \times A\)
🔹 तत्समक संबंध (Identity Relation): \(I_A = \{(a, a) : a \in A\}\)
🔹 स्वतुल्य / परावर्ती संबंध (Reflexive Relation): यदि प्रत्येक \(a \in A\) के लिए \((a, a) \in R\)।
🔹 सममित संबंध (Symmetric Relation): यदि \((a, b) \in R \implies (b, a) \in R\) (सभी \(a, b \in A\))।
🔹 संक्रामक / पारगामी संबंध (Transitive Relation): यदि \((a, b) \in R\) तथा \((b, c) \in R \implies (a, c) \in R\)।
🔹 तुल्यता संबंध (Equivalence Relation): यदि कोई संबंध स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक तीनों गुणधर्मों का पालन करे।
1.2 फलन (Functions) एवं इसके प्रकार
\(f: A \to B\) एक ऐसा विशेष नियम है जिसके अंतर्गत समुच्चय \(A\) का प्रत्येक अवयव समुच्चय \(B\) के एक और केवल एक (अद्वितीय) अवयव से संबद्ध होता है। यहाँ \(A\) को प्रांत (Domain), \(B\) को सह-प्रांत (Codomain) तथा प्राप्त मानों के समुच्चय \(f(A)\) को परिसर (Range) कहते हैं।
| फलन का प्रकार | गणितीय शर्त एवं व्याख्या | उदाहरण |
|---|---|---|
| एकैक (One-One / Injective) | यदि \(f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2\) (विभिन्न इनपुट का भिन्न आउटपुट) | \(f(x) = 2x + 3\) |
| बहुएक (Many-One) | यदि प्रांत के दो या अधिक अवयवों का सह-प्रांत में समान प्रतिबिंब हो। | \(f(x) = x^2\) |
| आच्छादक (Onto / Surjective) | यदि परिसर = सह-प्रांत (Range = Codomain) (कोई अवयव शेष न छूटे) | \(f(x) = x^3\) |
| अंतःक्षेपी (Into) | यदि सह-प्रांत में कम से कम एक ऐसा अवयव हो जिसका पूर्व-प्रतिबिंब न हो। | \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2\) |
| एकैकी आच्छादी (Bijective) | जो फलन एकैक (One-One) तथा आच्छादक (Onto) दोनों होता है। | \(f(x) = 3x - 5\) |
| सम फलन (Even Function) | यदि सभी \(x\) के लिए \(f(-x) = f(x)\) (y-अक्ष के परितः सममित) | \(f(x) = \cos x, x^2\) |
| विषम फलन (Odd Function) | यदि सभी \(x\) के लिए \(f(-x) = -f(x)\) (मूल बिंदु के परितः सममित) | \(f(x) = \sin x, x^3\) |
1️⃣ फलनों का संयोजन (Composition of Functions):
यदि \(f: A \to B\) तथा \(g: B \to C\) दो फलन हैं, तो संयोजित फलन \((g \circ f): A \to C\) को प्रदर्शित किया जाता है: $(g \circ f)(x) = g(f(x)), \quad \forall x \in A$ नोट: सामान्यतः \(f \circ g \neq g \circ f\) (क्रमविनिमेय नियम का पालन अनिवार्य नहीं)।
यदि \(f: A \to B\) तथा \(g: B \to C\) दो फलन हैं, तो संयोजित फलन \((g \circ f): A \to C\) को प्रदर्शित किया जाता है: $(g \circ f)(x) = g(f(x)), \quad \forall x \in A$ नोट: सामान्यतः \(f \circ g \neq g \circ f\) (क्रमविनिमेय नियम का पालन अनिवार्य नहीं)।
2️⃣ व्युत्क्रमणीय फलन (Inverse Function):
फलन \(f: A \to B\) व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि \(f\) एकैकी आच्छादी (Bijective) हो। तब एक अद्वितीय फलन \(g: B \to A\) अस्तित्व में होता है जहाँ: $f(x) = y \iff g(y) = x \implies f^{-1}(y) = x$ गुणधर्म: \((f^{-1})^{-1} = f\), तथा \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\)।
फलन \(f: A \to B\) व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि \(f\) एकैकी आच्छादी (Bijective) हो। तब एक अद्वितीय फलन \(g: B \to A\) अस्तित्व में होता है जहाँ: $f(x) = y \iff g(y) = x \implies f^{-1}(y) = x$ गुणधर्म: \((f^{-1})^{-1} = f\), तथा \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\)।
3️⃣ द्विआधारी संक्रियाएँ (Binary Operations):
समुच्चय \(A\) पर द्विआधारी संक्रिया \(*\) एक फलन \(*: A \times A \to A\) होती है।
🔹 क्रमविनिमेय नियम (Commutative): \(a * b = b * a\)
🔹 साहचर्य नियम (Associative): \((a * b) * c = a * (b * c)\)
🔹 तत्समक अवयव (Identity Element): \(a * e = e * a = a\)
🔹 प्रतिलोम अवयव (Inverse Element): \(a * b = b * a = e \implies b = a^{-1}\)
समुच्चय \(A\) पर द्विआधारी संक्रिया \(*\) एक फलन \(*: A \times A \to A\) होती है।
🔹 क्रमविनिमेय नियम (Commutative): \(a * b = b * a\)
🔹 साहचर्य नियम (Associative): \((a * b) * c = a * (b * c)\)
🔹 तत्समक अवयव (Identity Element): \(a * e = e * a = a\)
🔹 प्रतिलोम अवयव (Inverse Element): \(a * b = b * a = e \implies b = a^{-1}\)
2. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Functions)
त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम का मुख्य मान (Principal Value Branch), प्रांत, परिसर तथा महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएं।
2.1 प्रांत एवं मुख्य मान शाखा सारणी (Domain & Principal Value Branch)
| फलन \(y = f(x)\) | प्रांत (Domain) | मुख्य मान शाखा / परिसर (Principal Value Range) |
|---|---|---|
| \(y = \sin^{-1} x\) | \([-1, 1]\) | \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) |
| \(y = \cos^{-1} x\) | \([-1, 1]\) | \([0, \pi]\) |
| \(y = \tan^{-1} x\) | \(\mathbb{R}\) | \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) |
| \(y = \cot^{-1} x\) | \(\mathbb{R}\) | \((0, \pi)\) |
| \(y = \sec^{-1} x\) | \(\mathbb{R} - (-1, 1)\) | \([0, \pi] - \left\{\frac{\pi}{2}\right\}\) |
| \(y = \csc^{-1} x\) | \(\mathbb{R} - (-1, 1)\) | \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] - \{0\}\) |
2.2 प्रतिलोम त्रिकोणमिति के मुख्य गुणधर्म एवं सूत्र
1️⃣ ऋणात्मक कोण नियम (Negative Angle Identities):
$\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}x, \quad \tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1}x, \quad \csc^{-1}(-x) = -\csc^{-1}x$ $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x, \quad \cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1}x, \quad \sec^{-1}(-x) = \pi - \sec^{-1}x$
$\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}x, \quad \tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1}x, \quad \csc^{-1}(-x) = -\csc^{-1}x$ $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x, \quad \cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1}x, \quad \sec^{-1}(-x) = \pi - \sec^{-1}x$
2️⃣ पूरक कोण गुणधर्म (Complementary Identities):
$\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} \quad (|x| \le 1)$ $\tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \frac{\pi}{2} \quad (x \in \mathbb{R})$ $\sec^{-1}x + \csc^{-1}x = \frac{\pi}{2} \quad (|x| \ge 1)$
$\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} \quad (|x| \le 1)$ $\tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \frac{\pi}{2} \quad (x \in \mathbb{R})$ $\sec^{-1}x + \csc^{-1}x = \frac{\pi}{2} \quad (|x| \ge 1)$
3️⃣ व्युत्क्रम गुणधर्म (Reciprocal Identities):
$\sin^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \csc^{-1}x, \quad \cos^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \sec^{-1}x, \quad \tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \cot^{-1}x \quad (x > 0)$
$\sin^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \csc^{-1}x, \quad \cos^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \sec^{-1}x, \quad \tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \cot^{-1}x \quad (x > 0)$
4️⃣ \(\tan^{-1}\) के योग एवं अंतर सूत्र:
$\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) \quad (xy < 1)$ $\tan^{-1}x - \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right) \quad (xy > -1)$
$\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) \quad (xy < 1)$ $\tan^{-1}x - \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right) \quad (xy > -1)$
5️⃣ \(\sin^{-1}\) एवं \(\cos^{-1}\) के रूपांतरण सूत्र:
$2\tan^{-1}x = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ $\sin^{-1}x \pm \sin^{-1}y = \sin^{-1}\left(x\sqrt{1-y^2} \pm y\sqrt{1-x^2}\right)$ $\cos^{-1}x \pm \cos^{-1}y = \cos^{-1}\left(xy \mp \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right)$
$2\tan^{-1}x = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ $\sin^{-1}x \pm \sin^{-1}y = \sin^{-1}\left(x\sqrt{1-y^2} \pm y\sqrt{1-x^2}\right)$ $\cos^{-1}x \pm \cos^{-1}y = \cos^{-1}\left(xy \mp \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right)$
3. आव्यूह (Matrices)
संख्याओं या फलनों की आयताकार सरणी, आव्यूह के प्रकार, आव्यूह बीजगणित, परिवर्त्त, सममित व विषम-सममित आव्यूह तथा व्युत्क्रम आव्यूह।
3.1 आव्यूह के प्रकार एवं बीजगणित
1️⃣ आव्यूह का क्रम (Order of Matrix): \(m \times n\) (जहाँ \(m\) पंक्तियाँ एवं \(n\) स्तंभ हैं)।
प्रकार: पंक्ति आव्यूह (\(1 \times n\)), स्तंभ आव्यूह (\(m \times 1\)), शून्य आव्यूह (\(O\)), वर्ग आव्यूह (\(n \times n\)), विकर्ण आव्यूह, अदिश आव्यूह, तत्समक आव्यूह (\(I_n\))।
प्रकार: पंक्ति आव्यूह (\(1 \times n\)), स्तंभ आव्यूह (\(m \times 1\)), शून्य आव्यूह (\(O\)), वर्ग आव्यूह (\(n \times n\)), विकर्ण आव्यूह, अदिश आव्यूह, तत्समक आव्यूह (\(I_n\))।
2️⃣ आव्यूह योग एवं अंतर (Addition & Subtraction):
समान कोटि \(m \times n\) के आव्यूहों का योग संभव है: $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{pmatrix}$
समान कोटि \(m \times n\) के आव्यूहों का योग संभव है: $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{pmatrix}$
3️⃣ आव्यूह गुणन (Matrix Multiplication - Row-by-Column):
यदि \(A\) की कोटि \(m \times n\) तथा \(B\) की कोटि \(n \times p\) हो, तो गुणनफल \(AB\) की कोटि \(m \times p\) होगी: $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{pmatrix}$ नोट: आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय नहीं होता (\(AB \neq BA\) सामान्यतः)।
यदि \(A\) की कोटि \(m \times n\) तथा \(B\) की कोटि \(n \times p\) हो, तो गुणनफल \(AB\) की कोटि \(m \times p\) होगी: $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{pmatrix}$ नोट: आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय नहीं होता (\(AB \neq BA\) सामान्यतः)।
4️⃣ आव्यूह का परिवर्त्त (Transpose of Matrix - \(A^T\) या \(A'\)):
पंक्तियों को स्तंभों में तथा स्तंभों को पंक्तियों में बदलने पर प्राप्त आव्यूह।
🔹 गुणधर्म: \((A^T)^T = A, \quad (kA)^T = k A^T, \quad (A+B)^T = A^T + B^T, \quad (AB)^T = B^T A^T\)
🔹 सममित आव्यूह (Symmetric Matrix): \(A^T = A\)
🔹 विषम-सममित आव्यूह (Skew-Symmetric Matrix): \(A^T = -A\) (इसके मुख्य विकर्ण के सभी अवयव शून्य होते हैं)।
🔹 प्रत्येक वर्ग आव्यूह को एक सममित तथा एक विषम-सममित आव्यूह के योग के रूप में लिखा जा सकता है: $A = \frac{1}{2}(A + A^T) + \frac{1}{2}(A - A^T)$
पंक्तियों को स्तंभों में तथा स्तंभों को पंक्तियों में बदलने पर प्राप्त आव्यूह।
🔹 गुणधर्म: \((A^T)^T = A, \quad (kA)^T = k A^T, \quad (A+B)^T = A^T + B^T, \quad (AB)^T = B^T A^T\)
🔹 सममित आव्यूह (Symmetric Matrix): \(A^T = A\)
🔹 विषम-सममित आव्यूह (Skew-Symmetric Matrix): \(A^T = -A\) (इसके मुख्य विकर्ण के सभी अवयव शून्य होते हैं)।
🔹 प्रत्येक वर्ग आव्यूह को एक सममित तथा एक विषम-सममित आव्यूह के योग के रूप में लिखा जा सकता है: $A = \frac{1}{2}(A + A^T) + \frac{1}{2}(A - A^T)$
4. सारणिक (Determinants)
वर्ग आव्यूह से संबद्ध अदिश मान, सारणिक के गुणधर्म, उपसारणिक, सहखंड, सहखंडज (Adjoint), व्युत्क्रम आव्यूह एवं रैखिक समीकरणों का निकाय।
4.1 सारणिक का मान एवं गुणधर्म
1️⃣ \(2 \times 2\) एवं \(3 \times 3\) सारणिक का मान:
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1(b_2c_3 - b_3c_2) - b_1(a_2c_3 - a_3c_2) + c_1(a_2b_3 - a_3b_2)$
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1(b_2c_3 - b_3c_2) - b_1(a_2c_3 - a_3c_2) + c_1(a_2b_3 - a_3b_2)$
2️⃣ सारणिक के 6 मुख्य गुणधर्म:
🔹 पंक्तियों और स्तंभों का परस्पर विनिमय करने पर सारणिक का मान अपरिवर्तित रहता है (\(|A^T| = |A|\))।
🔹 किन्हीं दो पंक्तियों/स्तंभों को आपस में बदलने पर सारणिक का चिह्न बदल जाता है।
🔹 यदि कोई दो पंक्तियाँ या स्तंभ सर्वसम (समान) हों, तो सारणिक का मान \(0\) होता है।
🔹 किसी पंक्ति/स्तंभ के सभी अवयवों को अचर \(k\) से गुणा करने पर सारणिक का मान \(k\) गुना हो जाता है (\(|kA| = k^n |A|\))।
🔹 यदि किसी पंक्ति/स्तंभ का प्रत्येक अवयव शून्य हो, तो सारणिक का मान \(0\) होता है।
🔹 गुणधर्म: \(|AB| = |A| \cdot |B|\)।
🔹 पंक्तियों और स्तंभों का परस्पर विनिमय करने पर सारणिक का मान अपरिवर्तित रहता है (\(|A^T| = |A|\))।
🔹 किन्हीं दो पंक्तियों/स्तंभों को आपस में बदलने पर सारणिक का चिह्न बदल जाता है।
🔹 यदि कोई दो पंक्तियाँ या स्तंभ सर्वसम (समान) हों, तो सारणिक का मान \(0\) होता है।
🔹 किसी पंक्ति/स्तंभ के सभी अवयवों को अचर \(k\) से गुणा करने पर सारणिक का मान \(k\) गुना हो जाता है (\(|kA| = k^n |A|\))।
🔹 यदि किसी पंक्ति/स्तंभ का प्रत्येक अवयव शून्य हो, तो सारणिक का मान \(0\) होता है।
🔹 गुणधर्म: \(|AB| = |A| \cdot |B|\)।
3️⃣ त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of Triangle):
शीर्षों \((x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)\) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल: $\Delta = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ (यदि तीन बिंदु संरेख हैं तो \(\Delta = 0\))।
शीर्षों \((x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)\) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल: $\Delta = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ (यदि तीन बिंदु संरेख हैं तो \(\Delta = 0\))।
4️⃣ उपसारणिक (Minor), सहखंड (Cofactor) एवं सहखंडज (Adjoint):
🔹 उपसारणिक \(M_{ij}\): अवयव \(a_{ij}\) की पंक्ति व स्तंभ को हटाने पर प्राप्त सारणिक।
🔹 सहखंड \(A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\)
🔹 सहखंडज (Adjoint of Matrix \(\text{adj}\,A\)): सहखंड आव्यूह का परिवर्त्त (Transpose)।
🔹 व्युत्क्रम आव्यूह (Inverse Matrix): $A^{-1} = \frac{\text{adj}(A)}{|A|}, \quad (|A| \neq 0)$ 🔹 मुख्य परिणाम: \(A \cdot (\text{adj}\,A) = (\text{adj}\,A) \cdot A = |A| I_n\), तथा \(|\text{adj}\,A| = |A|^{n-1}\)।
🔹 उपसारणिक \(M_{ij}\): अवयव \(a_{ij}\) की पंक्ति व स्तंभ को हटाने पर प्राप्त सारणिक।
🔹 सहखंड \(A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\)
🔹 सहखंडज (Adjoint of Matrix \(\text{adj}\,A\)): सहखंड आव्यूह का परिवर्त्त (Transpose)।
🔹 व्युत्क्रम आव्यूह (Inverse Matrix): $A^{-1} = \frac{\text{adj}(A)}{|A|}, \quad (|A| \neq 0)$ 🔹 मुख्य परिणाम: \(A \cdot (\text{adj}\,A) = (\text{adj}\,A) \cdot A = |A| I_n\), तथा \(|\text{adj}\,A| = |A|^{n-1}\)।
5️⃣ आव्यूह विधि द्वारा रैखिक समीकरणों का निकाय (Matrix Method):
समीकरण निकाय \(AX = B \implies X = A^{-1} B\)।
🔹 यदि \(|A| \neq 0 \implies\) अद्वितीय हल (संगत / Consistent निकाय)।
🔹 यदि \(|A| = 0\) तथा \((\text{adj}\,A)B \neq 0 \implies\) कोई हल नहीं (असंगत / Inconsistent निकाय)।
🔹 यदि \(|A| = 0\) तथा \((\text{adj}\,A)B = 0 \implies\) अनंत हल (संगत निकाय)।
समीकरण निकाय \(AX = B \implies X = A^{-1} B\)।
🔹 यदि \(|A| \neq 0 \implies\) अद्वितीय हल (संगत / Consistent निकाय)।
🔹 यदि \(|A| = 0\) तथा \((\text{adj}\,A)B \neq 0 \implies\) कोई हल नहीं (असंगत / Inconsistent निकाय)।
🔹 यदि \(|A| = 0\) तथा \((\text{adj}\,A)B = 0 \implies\) अनंत हल (संगत निकाय)।
5. सांतत्य एवं अवकलनीयता (Continuity and Differentiability)
सीमाएँ, सांतत्य की परिभाषा, अवकलन के मूल नियम, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय, लघुगणकीय, अंतर्निहित व प्राचलिक फलनों का अवकलन तथा रोले व मध्यमान प्रमेय।
5.1 सीमाएँ एवं सांतत्य (Limits & Continuity)
सांतत्य की शर्त (Condition of Continuity at \(x = a\)):
फलन \(f(x)\) बिंदु \(x = a\) पर सतत होता है यदि: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \quad (\text{LHL} = \text{RHL} = f(a))$
फलन \(f(x)\) बिंदु \(x = a\) पर सतत होता है यदि: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \quad (\text{LHL} = \text{RHL} = f(a))$
महत्वपूर्ण सीमा सूत्र (Standard Limits):
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a, \quad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e, \quad \lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x - a} = n a^{n-1}$
5.2 अवकलज के संपूर्ण मानक सूत्र (Complete Derivatives Table)
| फलन \(f(x)\) | अवकलज \(\frac{d}{dx}f(x)\) | फलन \(f(x)\) | अवकलज \(\frac{d}{dx}f(x)\) |
|---|---|---|---|
| अचर \(c\) | \(0\) | \(x^n\) | \(n x^{n-1}\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(a^x\) | \(a^x \ln a\) |
| \(\ln x\) | \(\frac{1}{x}\) | \(\log_a x\) | \(\frac{1}{x \ln a}\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tan x\) | \(\sec^2 x\) | \(\cot x\) | \(-\csc^2 x\) |
| \(\sec x\) | \(\sec x \tan x\) | \(\csc x\) | \(-\csc x \cot x\) |
| \(\sin^{-1} x\) | \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\cos^{-1} x\) | \(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) |
| \(\tan^{-1} x\) | \(\frac{1}{1+x^2}\) | \(\cot^{-1} x\) | \(-\frac{1}{1+x^2}\) |
| \(\sec^{-1} x\) | \(\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\) | \(\csc^{-1} x\) | \(-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\) |
| \(\sinh x\) | \(\cosh x\) | \(\cosh x\) | \(\sinh x\) |
अवकलन के नियम (Rules of Differentiation):
🔹 योग/अंतर नियम: \(\frac{d}{dx}[u \pm v] = \frac{du}{dx} \pm \frac{dv}{dx}\)
🔹 गुणन नियम (Product Rule): \(\frac{d}{dx}[u \cdot v] = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}\)
🔹 भाग नियम (Quotient Rule): \(\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)
🔹 श्रृंखला नियम (Chain Rule): \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)
🔹 योग/अंतर नियम: \(\frac{d}{dx}[u \pm v] = \frac{du}{dx} \pm \frac{dv}{dx}\)
🔹 गुणन नियम (Product Rule): \(\frac{d}{dx}[u \cdot v] = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}\)
🔹 भाग नियम (Quotient Rule): \(\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)
🔹 श्रृंखला नियम (Chain Rule): \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)
लघुगणकीय व प्राचलिक अवकलन:
🔹 घातांकी फलन \(y = [f(x)]^{g(x)} \implies \ln y = g(x) \ln f(x) \implies \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[g(x)\ln f(x)]\)।
🔹 प्राचलिक रूप (Parametric Form): यदि \(x = f(t)\) तथा \(y = g(t)\), तो \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\)।
🔹 घातांकी फलन \(y = [f(x)]^{g(x)} \implies \ln y = g(x) \ln f(x) \implies \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[g(x)\ln f(x)]\)।
🔹 प्राचलिक रूप (Parametric Form): यदि \(x = f(t)\) तथा \(y = g(t)\), तो \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\)।
मध्यमान प्रमेय (Mean Value Theorems):
🔹 रोले का प्रमेय (Rolle's Theorem): यदि \(f(x)\) अंतराल \([a,b]\) में सतत, \((a,b)\) में अवकलनीय तथा \(f(a) = f(b)\) हो, तो कम से कम एक \(c \in (a,b)\) ऐसा अस्तित्व में होगा जहाँ \(f'(c) = 0\)।
🔹 लैंग्रांज का मध्यमान प्रमेय (LMVT): यदि \(f(x)\) \([a,b]\) में सतत तथा \((a,b)\) में अवकलनीय हो, तो कम से कम एक \(c \in (a,b)\) ऐसा अस्तित्व में होगा जहाँ: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
🔹 रोले का प्रमेय (Rolle's Theorem): यदि \(f(x)\) अंतराल \([a,b]\) में सतत, \((a,b)\) में अवकलनीय तथा \(f(a) = f(b)\) हो, तो कम से कम एक \(c \in (a,b)\) ऐसा अस्तित्व में होगा जहाँ \(f'(c) = 0\)।
🔹 लैंग्रांज का मध्यमान प्रमेय (LMVT): यदि \(f(x)\) \([a,b]\) में सतत तथा \((a,b)\) में अवकलनीय हो, तो कम से कम एक \(c \in (a,b)\) ऐसा अस्तित्व में होगा जहाँ: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
6. अवकलज के अनुप्रयोग (Applications of Derivatives)
राशि के परिवर्तन की दर, वर्धमान व ह्रासमान फलन, स्पर्शरेखा व अभिलंब, सन्निकटन तथा उच्चतम एवं न्यूनतम (Maxima and Minima)।
6.1 मुख्य सूत्र एवं संकल्पनाएँ
1️⃣ परिवर्तन की दर (Rate of Change): वेग \(v = \frac{ds}{dt}\), त्वरण \(a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}\)।
2️⃣ वर्धमान एवं ह्रासमान फलन (Increasing & Decreasing Functions):
🔹 निरंतर वर्धमान (Strictly Increasing): यदि \((a,b)\) में सभी \(x\) के लिए \(f'(x) > 0\)
🔹 निरंतर ह्रासमान (Strictly Decreasing): यदि \((a,b)\) में सभी \(x\) के लिए \(f'(x) < 0\)
🔹 अचर फलन: \(f'(x) = 0\)
🔹 निरंतर वर्धमान (Strictly Increasing): यदि \((a,b)\) में सभी \(x\) के लिए \(f'(x) > 0\)
🔹 निरंतर ह्रासमान (Strictly Decreasing): यदि \((a,b)\) में सभी \(x\) के लिए \(f'(x) < 0\)
🔹 अचर फलन: \(f'(x) = 0\)
3️⃣ स्पर्शरेखा एवं अभिलंब के समीकरण (Tangents & Normals):
वक्र \(y = f(x)\) के बिंदु \((x_1, y_1)\) पर प्रवणता \(m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_1, y_1)}\):
🔹 स्पर्शरेखा का समीकरण: \(y - y_1 = m(x - x_1)\)
🔹 अभिलंब का समीकरण: \(y - y_1 = -\frac{1}{m}(x - x_1)\)
वक्र \(y = f(x)\) के बिंदु \((x_1, y_1)\) पर प्रवणता \(m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_1, y_1)}\):
🔹 स्पर्शरेखा का समीकरण: \(y - y_1 = m(x - x_1)\)
🔹 अभिलंब का समीकरण: \(y - y_1 = -\frac{1}{m}(x - x_1)\)
4️⃣ उच्चतम एवं न्यूनतम मान (Maxima and Minima Tests):
👉 प्रथम अवकलज परीक्षण: क्रांति बिंदु \(x = c\) (जहाँ \(f'(c) = 0\)) पर:
• यदि \(f'(x)\) का चिह्न (+) से (-) में बदले \(\implies x = c\) पर स्थानीय उच्चतम (Local Maxima)
• यदि \(f'(x)\) का चिह्न (-) से (+) में बदले \(\implies x = c\) पर स्थानीय न्यूनतम (Local Minima)
👉 द्वितीय अवकलज परीक्षण (Second Derivative Test): \(f'(c) = 0\) पर:
• यदि \(f''(c) < 0 \implies x = c\) पर उच्चतम मान
• यदि \(f''(c) > 0 \implies x = c\) पर न्यूनतम मान
• यदि \(f''(c) = 0 \implies\) परीक्षण विफल (तृतीय अवकलज परीक्षण की आवश्यकता)
👉 प्रथम अवकलज परीक्षण: क्रांति बिंदु \(x = c\) (जहाँ \(f'(c) = 0\)) पर:
• यदि \(f'(x)\) का चिह्न (+) से (-) में बदले \(\implies x = c\) पर स्थानीय उच्चतम (Local Maxima)
• यदि \(f'(x)\) का चिह्न (-) से (+) में बदले \(\implies x = c\) पर स्थानीय न्यूनतम (Local Minima)
👉 द्वितीय अवकलज परीक्षण (Second Derivative Test): \(f'(c) = 0\) पर:
• यदि \(f''(c) < 0 \implies x = c\) पर उच्चतम मान
• यदि \(f''(c) > 0 \implies x = c\) पर न्यूनतम मान
• यदि \(f''(c) = 0 \implies\) परीक्षण विफल (तृतीय अवकलज परीक्षण की आवश्यकता)
7. समाकलन (Integrals / Integration)
अनिश्चित एवं निश्चित समाकलन, मानक समाकल सूत्र, प्रतिस्थापन, आंशिक भिन्न, खंडशः समाकलन (Integration by Parts) एवं निश्चित समाकलन के गुणधर्म।
7.1 अनिश्चित समाकलन के मानक सूत्र (Indefinite Integrals)
| समाकल \(\int f(x) dx\) | सूत्र (Result + C) | समाकल \(\int f(x) dx\) | सूत्र (Result + C) |
|---|---|---|---|
| \(\int x^n dx\) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1} \quad (n \neq -1)\) | \(\int \frac{1}{x} dx\) | \(\ln|x|\) |
| \(\int e^x dx\) | \(e^x\) | \(\int a^x dx\) | \(\frac{a^x}{\ln a}\) |
| \(\int \sin x dx\) | \(-\cos x\) | \(\int \cos x dx\) | \(\sin x\) |
| \(\int \sec^2 x dx\) | \(\tan x\) | \(\int \csc^2 x dx\) | \(-\cot x\) |
| \(\int \sec x \tan x dx\) | \(\sec x\) | \(\int \csc x \cot x dx\) | \(-\csc x\) |
| \(\int \tan x dx\) | \(\ln|\sec x|\) | \(\int \cot x dx\) | \(\ln|\sin x|\) |
| \(\int \sec x dx\) | \(\ln|\sec x + \tan x|\) | \(\int \csc x dx\) | \(\ln|\csc x - \cot x|\) |
विशेष मानकीकृत समाकल सूत्र (Special Integrals Formulas):
$\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ $\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|, \quad \int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|$ $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right), \quad \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right|$ $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right|$ $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ $\int \sqrt{x^2 + a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right|$ $\int \sqrt{x^2 - a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right|$
$\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ $\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|, \quad \int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|$ $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right), \quad \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right|$ $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right|$ $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ $\int \sqrt{x^2 + a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right|$ $\int \sqrt{x^2 - a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right|$
समाकलन की विधियाँ (Methods of Integration):
🔹 प्रतिस्थापन द्वारा (By Substitution): \(u = g(x) \implies \int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du\)
🔹 खण्डशः समाकलन (Integration by Parts - ILATE): $\int u \cdot v \, dx = u \int v dx - \int \left[ \frac{du}{dx} \cdot \int v dx \right] dx$ 🔹 विशेष घातांकी सूत्र: \(\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C\)
🔹 अवकलज अनुपात सूत्र: \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C\)
🔹 प्रतिस्थापन द्वारा (By Substitution): \(u = g(x) \implies \int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du\)
🔹 खण्डशः समाकलन (Integration by Parts - ILATE): $\int u \cdot v \, dx = u \int v dx - \int \left[ \frac{du}{dx} \cdot \int v dx \right] dx$ 🔹 विशेष घातांकी सूत्र: \(\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C\)
🔹 अवकलज अनुपात सूत्र: \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C\)
निश्चित समाकलन के गुणधर्म (Properties of Definite Integrals):
\(P_0: \int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt\)
\(P_1: \int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx, \quad \int_a^a f(x) dx = 0\)
\(P_2: \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx\)
\(P_3: \int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a + b - x) dx\)
\(P_4: \int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a - x) dx\) (सर्वाधिक प्रयुक्त गुणधर्म)
\(P_5: \int_0^{2a} f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_0^a f(2a - x) dx\)
\(P_6: \int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx \quad [\text{यदि } f(2a-x) = f(x)], \quad 0 \quad [\text{यदि } f(2a-x) = -f(x)]\)
\(P_7: \int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx \quad [\text{यदि } f(x) \text{ सम फलन}], \quad 0 \quad [\text{यदि } f(x) \text{ विषम फलन}]\)
\(P_0: \int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt\)
\(P_1: \int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx, \quad \int_a^a f(x) dx = 0\)
\(P_2: \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx\)
\(P_3: \int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a + b - x) dx\)
\(P_4: \int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a - x) dx\) (सर्वाधिक प्रयुक्त गुणधर्म)
\(P_5: \int_0^{2a} f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_0^a f(2a - x) dx\)
\(P_6: \int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx \quad [\text{यदि } f(2a-x) = f(x)], \quad 0 \quad [\text{यदि } f(2a-x) = -f(x)]\)
\(P_7: \int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx \quad [\text{यदि } f(x) \text{ सम फलन}], \quad 0 \quad [\text{यदि } f(x) \text{ विषम फलन}]\)
8. समाकलन के अनुप्रयोग — वक्रों का क्षेत्रफल (Applications of Integrals)
8.1 परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल (Area Bounded by Curves)
1️⃣ साधारण वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल:
🔹 y-अक्ष के सापेक्ष परिबद्ध क्षेत्र: \(A = \int_a^b y \, dx = \int_a^b f(x) \, dx\)
🔹 x-अक्ष के सापेक्ष परिबद्ध क्षेत्र: \(A = \int_c^d x \, dy = \int_c^d g(y) \, dy\)
🔹 y-अक्ष के सापेक्ष परिबद्ध क्षेत्र: \(A = \int_a^b y \, dx = \int_a^b f(x) \, dx\)
🔹 x-अक्ष के सापेक्ष परिबद्ध क्षेत्र: \(A = \int_c^d x \, dy = \int_c^d g(y) \, dy\)
2️⃣ दो वक्रों के मध्य परिबद्ध क्षेत्रफल:
वक्रों \(y = f(x)\) तथा \(y = g(x)\) (जहाँ \(f(x) \ge g(x)\)) के बीच \(x = a\) से \(x = b\) तक का क्षेत्रफल: $A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$
वक्रों \(y = f(x)\) तथा \(y = g(x)\) (जहाँ \(f(x) \ge g(x)\)) के बीच \(x = a\) से \(x = b\) तक का क्षेत्रफल: $A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$
9. अवकल समीकरण (Differential Equations)
9.1 कोटि, घात एवं हल करने की विधियाँ
1️⃣ कोटि (Order) एवं घात (Degree):
🔹 कोटि (Order): अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि (e.g. \(\frac{d^2y}{dx^2}\) की कोटि 2 है)।
🔹 घात (Degree): उच्चतम अवकलज की धनात्मक पूर्णांक घात (जब समीकरण अवकलजों में बहुपदीय रूप में व्यक्त हो)।
🔹 कोटि (Order): अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि (e.g. \(\frac{d^2y}{dx^2}\) की कोटि 2 है)।
🔹 घात (Degree): उच्चतम अवकलज की धनात्मक पूर्णांक घात (जब समीकरण अवकलजों में बहुपदीय रूप में व्यक्त हो)।
2️⃣ प्रथम कोटि एवं प्रथम घात समीकरणों के हल:
👉 चर पृथक्करण विधि (Separation of Variables):
$f(y) dy = g(x) dx \implies \int f(y) dy = \int g(x) dx + C$ 👉 समघातीय अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equations):
\(\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)\) रूप के समीकरण में \(y = v x \implies \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}\) रखकर चरों का पृथक्करण करें।
👉 रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations):
मानक रूप: \(\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)\)
समाकलन गुणक (Integrating Factor): \(\text{I.F.} = e^{\int P(x) dx}\)
व्यापक हल: $y \cdot (\text{I.F.}) = \int [Q(x) \cdot (\text{I.F.})] dx + C$
👉 चर पृथक्करण विधि (Separation of Variables):
$f(y) dy = g(x) dx \implies \int f(y) dy = \int g(x) dx + C$ 👉 समघातीय अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equations):
\(\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)\) रूप के समीकरण में \(y = v x \implies \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}\) रखकर चरों का पृथक्करण करें।
👉 रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations):
मानक रूप: \(\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)\)
समाकलन गुणक (Integrating Factor): \(\text{I.F.} = e^{\int P(x) dx}\)
व्यापक हल: $y \cdot (\text{I.F.}) = \int [Q(x) \cdot (\text{I.F.})] dx + C$
10. सदिश बीजगणित (Vector Algebra)
10.1 सदिश बीजगणित के 12 मुख्य सूत्र
1️⃣ स्थिति सदिश एवं परिमाण (Position Vector & Magnitude):
यदि \(\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}\), तो परिमाण \(|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)।
एकांक सदिश (Unit Vector): \(\hat{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\)।
यदि \(\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}\), तो परिमाण \(|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)।
एकांक सदिश (Unit Vector): \(\hat{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\)।
2️⃣ दिक-कोसाइन (Direction Cosines): \(l = \cos\alpha = \frac{x}{|\vec{r}|}\), \(m = \cos\beta = \frac{y}{|\vec{r}|}\), \(n = \cos\gamma = \frac{z}{|\vec{r}|}\)।
सर्वसमिका: \(l^2 + m^2 + n^2 = 1 \iff \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\)।
सर्वसमिका: \(l^2 + m^2 + n^2 = 1 \iff \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\)।
3️⃣ विभाजन सूत्र (Section Formula):
आंतरिक विभाजन: \(\vec{r} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n}\), बाह्य विभाजन: \(\vec{r} = \frac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m-n}\)।
आंतरिक विभाजन: \(\vec{r} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n}\), बाह्य विभाजन: \(\vec{r} = \frac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m-n}\)।
4️⃣ अदिश गुणनफल / डॉट प्रोडक्ट (Dot Product):
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ 🔹 लंबवत सदिश (\(\vec{a} \perp \vec{b}\)): \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)
🔹 सदिश \(\vec{a}\) का \(\vec{b}\) पर प्रक्षेप (Projection): \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\)
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ 🔹 लंबवत सदिश (\(\vec{a} \perp \vec{b}\)): \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)
🔹 सदिश \(\vec{a}\) का \(\vec{b}\) पर प्रक्षेप (Projection): \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\)
5️⃣ सदिश गुणनफल / क्रॉस प्रोडक्ट (Cross Product):
$\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \, \hat{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$ 🔹 समांतर सदिश (\(\vec{a} \parallel \vec{b}\)): \(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}\)
🔹 त्रिभुज का क्षेत्रफल: \(\frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|\), समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल: \(|\vec{a} \times \vec{b}|\)
$\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \, \hat{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$ 🔹 समांतर सदिश (\(\vec{a} \parallel \vec{b}\)): \(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}\)
🔹 त्रिभुज का क्षेत्रफल: \(\frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|\), समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल: \(|\vec{a} \times \vec{b}|\)
6️⃣ अदिश त्रिक गुणनफल (Scalar Triple Product):
$[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$ (समांतर षट्फलक / Parallelopiped का आयतन)।
$[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$ (समांतर षट्फलक / Parallelopiped का आयतन)।
11. त्रिविमीय ज्यामिति (Three-Dimensional Geometry)
11.1 रेखा एवं समतल के सूत्र
1️⃣ रेखा का समीकरण (Equation of Line in Space):
🔹 एक बिंदु \(\vec{a}\) व समांतर सदिश \(\vec{b}\) से जाने वाली रेखा:
सदिश रूप: \(\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}\), कार्तीय रूप: \(\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}\)
🔹 दो बिंदुओं \(\vec{a}\) व \(\vec{b}\) से जाने वाली रेखा:
सदिश रूप: \(\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b}-\vec{a})\), कार्तीय रूप: \(\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}\)
🔹 एक बिंदु \(\vec{a}\) व समांतर सदिश \(\vec{b}\) से जाने वाली रेखा:
सदिश रूप: \(\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}\), कार्तीय रूप: \(\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}\)
🔹 दो बिंदुओं \(\vec{a}\) व \(\vec{b}\) से जाने वाली रेखा:
सदिश रूप: \(\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b}-\vec{a})\), कार्तीय रूप: \(\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}\)
2️⃣ दो रेखाओं के मध्य न्यूनतम दूरी (Shortest Distance Between Skew Lines):
विषमतलीय रेखाओं \(\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}_1\) तथा \(\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}_2\) के मध्य न्यूनतम दूरी \(d\): $d = \left| \frac{(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|$ (यदि रेखाएँ समांतर हों: \(d = \left| \frac{\vec{b} \times (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)}{|\vec{b}|} \right|\))।
विषमतलीय रेखाओं \(\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}_1\) तथा \(\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}_2\) के मध्य न्यूनतम दूरी \(d\): $d = \left| \frac{(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|$ (यदि रेखाएँ समांतर हों: \(d = \left| \frac{\vec{b} \times (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)}{|\vec{b}|} \right|\))।
3️⃣ समतल के समीकरण (Equations of Plane):
🔹 अभिलंब रूप: \(\vec{r} \cdot \hat{n} = d\) या \(lx + my + nz = d\)
🔹 अंतःखंड रूप: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)
🔹 एक बिंदु \((x_1, y_1, z_1)\) से गुजरने वाला समतल: \(A(x-x_1) + B(y-y_1) + C(z-z_1) = 0\)
🔹 अभिलंब रूप: \(\vec{r} \cdot \hat{n} = d\) या \(lx + my + nz = d\)
🔹 अंतःखंड रूप: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)
🔹 एक बिंदु \((x_1, y_1, z_1)\) से गुजरने वाला समतल: \(A(x-x_1) + B(y-y_1) + C(z-z_1) = 0\)
12. रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming - LPP)
12.1 संकल्पनाएँ एवं कोणीय बिंदु विधि
1️⃣ उद्देश्य फलन (Objective Function): \(Z = ax + by\) (जिसे अधिकतम या न्यूनतम करना होता है)।
2️⃣ व्यवरोध (Constraints): असमीकाएँ जैसे \(ax + by \le c\), \(x \ge 0, y \ge 0\)।
3️⃣ सुसंगत क्षेत्र (Feasible Region): सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करने वाला उभयनिष्ठ क्षेत्र।
4️⃣ कोणीय बिंदु विधि (Corner Point Method): सुसंगत क्षेत्र के सभी कोणीय बिंदुओं पर \(Z\) का मान ज्ञात कर इष्टतम (Optimal) मान प्राप्त करना।
2️⃣ व्यवरोध (Constraints): असमीकाएँ जैसे \(ax + by \le c\), \(x \ge 0, y \ge 0\)।
3️⃣ सुसंगत क्षेत्र (Feasible Region): सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करने वाला उभयनिष्ठ क्षेत्र।
4️⃣ कोणीय बिंदु विधि (Corner Point Method): सुसंगत क्षेत्र के सभी कोणीय बिंदुओं पर \(Z\) का मान ज्ञात कर इष्टतम (Optimal) मान प्राप्त करना।
13. प्रायिकता (Probability) — संपूर्ण 20 सूत्र
13.1 सप्रतिबंध प्रायिकता, बेज़ प्रमेय एवं बंटन
1️⃣ मूलभूत प्रायिकता: \(P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल संभव परिणाम}}, \quad 0 \le P(A) \le 1\)
2️⃣ पूरक घटना: \(P(A') = 1 - P(A)\)
3️⃣ सप्रतिबंध प्रायिकता (Conditional Probability): \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) \neq 0)\)
4️⃣ प्रायिकता का गुणन नियम: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)\)
5️⃣ स्वतंत्र घटनाएँ (Independent Events): \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
6️⃣ संपूर्ण प्रायिकता का नियम (Law of Total Probability): \(P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i) \cdot P(B|A_i)\)
7️⃣ बेज़ प्रमेय (Bayes' Theorem):
$P(A_i | B) = \frac{P(A_i) P(B | A_i)}{\sum_{j=1}^n P(A_j) P(B | A_j)}$
$P(A_i | B) = \frac{P(A_i) P(B | A_i)}{\sum_{j=1}^n P(A_j) P(B | A_j)}$
8️⃣ यादृच्छिक चर का माध्य (Mean / Expectation): \(\mu = E(X) = \sum x_i P(x_i)\)
9️⃣ यादृच्छिक चर का प्रसरण (Variance): \(\text{Var}(X) = \sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum (x_i - \mu)^2 P(x_i)\)
🔟 द्विपद बंटन (Binomial Distribution / Bernoulli Trials):
$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad \text{माध्य} = np, \quad \text{प्रसरण} = npq$
$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad \text{माध्य} = np, \quad \text{प्रसरण} = npq$
14. क्षेत्रमिति एवं ज्यामिति (Complete 2D & 3D Shapes Master Table)
14.1 द्विविमीय आकृतियाँ (2D Shapes Formulas)
| 2D आकृति | क्षेत्रफल (Area) | परिमाप (Perimeter) |
|---|---|---|
| आयताकार (Rectangle) | \(l \times w\) | \(2(l + w)\) |
| वर्ग (Square) | \(s^2\) | \(4s\) |
| त्रिभुज (Triangle) | \(\frac{1}{2} b h\) या \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) | \(a + b + c\) |
| समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) | \(b \times h\) | \(2(b + s)\) |
| समचतुर्भुज (Rhombus) | \(\frac{1}{2} d_1 d_2\) | \(4s\) |
| समलम्ब (Trapezium) | \(\frac{1}{2}(a+b)h\) | \(a + b + c + d\) |
| वृत्त (Circle) | \(\pi r^2\) | \(2\pi r\) |
| दीर्घवृत्त (Ellipse) | \(\pi a b\) | \(\approx 2\pi\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\) |
| त्रिज्यखंड (Sector of Circle) | \(\frac{1}{2} r^2 \theta\) | \(2r + \frac{\theta}{360} 2\pi r\) |
| वृत्ताकार वलय (Circular Ring / Annulus) | \(\pi (R^2 - r^2)\) | \(2\pi(R + r)\) |
14.2 त्रिविमीय आकृतियाँ (3D Shapes Formulas)
| 3D आकृति | कुल पृष्ठ क्षेत्रफल (Surface Area) | आयतन (Volume) |
|---|---|---|
| घन (Cube) | \(6a^2\) | \(a^3\) |
| घनाभ (Cuboid) | \(2(lb + bh + hl)\) | \(l \times b \times h\) |
| बेलन (Cylinder) | \(2\pi r(h+r)\) | \(\pi r^2 h\) |
| गोला (Sphere) | \(4\pi r^2\) | \(\frac{4}{3}\pi r^3\) |
| अर्धगोला (Hemisphere) | \(3\pi r^2\) | \(\frac{2}{3}\pi r^3\) |
| शंकु (Cone) | \(\pi r (r + l)\) | \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\) |
| शंकु छिन्नक (Frustum of Cone) | \(\pi(R+r)l + \pi R^2 + \pi r^2\) | \(\frac{1}{3}\pi h(R^2 + r^2 + R r)\) |
| टोरस (Torus) | \(4\pi^2 R r\) | \(2\pi^2 R r^2\) |
| दीर्घवृत्तज (Ellipsoid) | \(\approx 4\pi\left(\frac{a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p}{3}\right)^{1/p}\) | \(\frac{4}{3}\pi a b c\) |
| खोकला गोला (Hollow Sphere) | \(4\pi (R^2 + r^2)\) | \(\frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)\) |
15. सांख्यिकी एवं बंटन (Statistics & Probability Distributions)
15.1 सांख्यिकी के मुख्य सूत्र
1️⃣ माध्य (Mean): \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}\)
2️⃣ माध्यिका (Median): \(N\) विषम होने पर मध्य पद; सम होने पर मध्य दो पदों का औसत।
3️⃣ बहुलक (Mode): सर्वाधिक आवृत्ति वाला मान (Unimodal, Bimodal, Multimodal)।
4️⃣ प्रसरण (Variance): \(\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}\)
5️⃣ मानक विचलन (Standard Deviation): \(\sigma = \sqrt{\text{Variance}}\)
6️⃣ सहसंबंध गुणांक (Pearson's r):
$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}$
$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}$
7️⃣ विचरण गुणांक (Coefficient of Variation): \(CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\%\)
8️⃣ सामान्य बंटन (Normal Distribution / Gaussian PDF):
$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$
$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$
9️⃣ प्वासां बंटन (Poisson Distribution PMF): \(P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\)
🔟 घातांकी बंटन (Exponential Distribution PDF): \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad (x \ge 0)\)
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